Символ Лежандра

---

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

Пусть ${\displaystyle a}$ — целое число, и ${\displaystyle p\neq 2}$ — простое число. Символ Лежандра ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ определяется следующим образом:

Если ${\displaystyle x<{\frac {p}{2}}}$ и ${\displaystyle x}$ нечётно, то ${\displaystyle p-x>{\frac {p}{2}}}$, причём ${\displaystyle p-x}$ чётно, и наоборот. Поэтому

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}=}$

${\displaystyle =(-(-1))\cdot 2\cdot (-(-3))\cdot 4\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p-1}{2}}}\right)}\right)\equiv }$

---