Симметричная матрица

---

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу ${\displaystyle A}$, что ${\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}$.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Симметричная матрица ${\displaystyle A}$ размерностью ${\displaystyle k\times k}$ называется положительно определённой если ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \}}$ выполняется ${\displaystyle z^{T}Az>0.}$
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

---