В 16 лет поступил в Императорский Санкт-Петербургский университет, но не окончив его, перешёл в одесский Ришельевский лицей и в 1843 году[4] окончил его физико-математическое отделение. Был одним из лучших учеников русского астронома А. Н. Савича.
Несколько лет служил в государственных учреждениях и в 1848 году был приглашен для организации магнитно-метеорологической обсерватории при российской духовной миссии в Пекине. Здание магнитно-метеорологической обсерватории в Пекине было построено под его руководством. Во время многолетнего пребывания в Китае К. А. Скачков изучил китайский язык и литературу. Его интересовали сельское хозяйство, военное и морское дело, астрономия, медицина, торговля. С первых лет своего пребывания в Китае К. А. Скачков начал собирать китайские книги. Немало литературы он получил в дар от членов духовной миссии, а также от китайских учёных и чиновников. Несколько редких и ценных сочинений по китайской астрономии он получил от дяди китайского императора, интересовавшегося занятиями Скачкова в обсерватории при духовной миссии. Некоторые книги были переписаны по заказам Скачкова китайскими писцами. К моменту возвращения на родину Скачков был уже обладателем большой коллекции китайских рукописных книг, карт и альбомов рисунков.
В 1863 году Скачков вернулся на родину. С 1867 года его китайское собрание вместе с составленным им самим картотекой-каталогом находилось на хранении в Петербургской публичной библиотеке. В 1873 году это собрание купил входивший в круг знакомых К. А. Скачкова иркутский купец А. Л. Родионов и пожертвовал, в расчёте на орден, Румянцевскому музею.
В последние годы жизни К. А. Скачков жил в Петербурге; участвовал в работе Русского географического общества. Умер 26 марта (7 апреля) 1883 года; был похоронен на Никольском кладбище Александро-Невской лавры, рядом с дочерью Еленой (1859—1879)[5].
В 1884 году его вдова, Каролина Фоминична Скачкова, передала Румянцевскому музею оставшуюся часть библиотеки и архив покойного.