Слабая сходимость

---

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Пусть ${\displaystyle K}$ — топологическое поле, ${\displaystyle X}$ — топологическое векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle X^{*}}$— сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на ${\displaystyle X}$. Тогда слабой топологией пространства ${\displaystyle X}$ называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

для всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$, и ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Иначе говоря, последовательность элементов ${\displaystyle x_{n}\in X}$ слабо сходится к элементу ${\displaystyle x_{\infty }\in X}$, если для любого непрерывного линейного функционала ${\displaystyle f\in X^{*}}$ последовательность чисел ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{\infty })}$.

Слабой* топологией в ${\displaystyle X^{*}}$ называют топологию, предбазу которой образуют множества

для всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$, и ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

---