Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение $K$ семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbf {P} )$ в некоторое пространство ${\mathcal {M}}$ , элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если ${\mathcal {M}}$ — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество $K$ со свойством $K={\overline {K\cap D}}$ , где $D$ счётно и всюду плотно в $S$ .

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»^[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).