Критическая точка (математика)

---

Критической точкой дифференцируемой функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n=1 это значит, что производная ${\displaystyle f'}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции^[1].

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий ${\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}}$. В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения ${\displaystyle f}$ в ней меньше максимально возможного значения, равного ${\displaystyle \min\{n,m\}}$.

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф. Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

---