Степенной ряд

---

в котором коэффициенты ${\displaystyle {a_{n}}}$ берутся из некоторого кольца ${\displaystyle {R}}$.

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из ${\displaystyle {R}}$ обозначается ${\displaystyle R[[X]]}$. Пространство ${\displaystyle R[[X]]}$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом ${\displaystyle {R}}$ (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ${\displaystyle {R}}$). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В ${\displaystyle R[[X]]}$ определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной ${\displaystyle {X}}$ какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

---