Стереографическая проекция

---

Стереографи́ческая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Точка ${\displaystyle N}$ (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости ${\displaystyle \Pi }$. Через каждую точку ${\displaystyle x\neq N}$ сферы проходит единственная прямая ${\displaystyle D}$, соединяющая ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle x}$. Прямая ${\displaystyle D}$ пересекает плоскость в единственной точке ${\displaystyle X}$, которая, таким образом, является образом точки ${\displaystyle x}$ при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой ${\displaystyle N}$ на плоскость ${\displaystyle \Pi }$.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки ${\displaystyle N}$. Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ${\displaystyle \infty }$. Плоскость, дополненная элементом ${\displaystyle \infty }$, называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза ${\displaystyle x\to N}$ его образ ${\displaystyle X\to \infty }$.

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

---