Точная верхняя и нижняя границы

---

Точная верхняя граница и точная нижняя граница — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначаются ${\displaystyle \sup X}$ (читается супремум икс) и ${\displaystyle \inf X}$ (читается инфимум икс) соответственно.

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества ${\displaystyle X}$ — число ${\displaystyle a}$ такое, что ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a}$.

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества ${\displaystyle X}$ — число ${\displaystyle b}$ такое, что ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b}$.

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества ${\displaystyle X}$ частично упорядоченного множества (или класса) ${\displaystyle M}$ называется наименьший элемент ${\displaystyle M}$, который равен или больше всех элементов множества ${\displaystyle X}$. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается ${\displaystyle \sup X}$.

---