Тензорное поле

---

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))}$ — пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ с естественным тензорным представлением группы ${\displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}$, тогда структура типа ${\displaystyle V_{q}^{p}}$ является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа ${\displaystyle (p,\;q)}$.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ на дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M}$, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия ${\displaystyle M}$ ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

---