Совершенное множество

---

Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай замкнутых подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

Всякое несчётное замкнутое множество ${\displaystyle M}$ есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации ${\displaystyle N\subset M}$ в силу замкнутости ${\displaystyle M}$.

Для того, чтобы точка ${\displaystyle a}$ была точкой конденсации множества ${\displaystyle M}$, необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки ${\displaystyle a}$ содержала несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$.

Рациональной окрестностью точки ${\displaystyle a}$ называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

---