Теорема о трёх перпендикулярах

---

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пусть ${\displaystyle AB}$ — перпендикуляр к плоскости ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle AC}$ — наклонная и ${\displaystyle c}$ — прямая в плоскости ${\displaystyle \alpha }$, проходящая через точку ${\displaystyle C}$ и перпендикулярная проекции ${\displaystyle BC}$. Проведём прямую ${\displaystyle CK}$ параллельно прямой ${\displaystyle AB}$. Прямая ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle \alpha }$ (так как она параллельна ${\displaystyle AB}$), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, ${\displaystyle CK}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle c}$. Проведём через параллельные прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CK}$ плоскость ${\displaystyle \beta }$ (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая ${\displaystyle c}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ${\displaystyle \beta }$, это ${\displaystyle BC}$ по условию и ${\displaystyle CK}$ по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой ${\displaystyle AC}$.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

---