Нечёткое множество

---

Нечёткое множество (иногда размытое^[1], туманное^[2], пушистое^[3]) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control^[en][4], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале ${\displaystyle [0,1]}$, а не только значения ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$. Является базовым понятием нечёткой логики.

Под нечётким множеством ${\displaystyle A}$ понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов ${\displaystyle x}$ универсального множества ${\displaystyle X}$ и соответствующих степеней принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$:

причём ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент ${\displaystyle x}$ принадлежит нечёткому множеству ${\displaystyle A}$. Функция ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве ${\displaystyle M}$. Множество ${\displaystyle M}$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве ${\displaystyle M}$ выбирается отрезок ${\displaystyle [0,1]}$. Если ${\displaystyle M=\{0,1\}\ }$ (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Пусть ${\displaystyle A}$ нечёткое множество с элементами из универсального множества ${\displaystyle X\ }$ и множеством принадлежностей ${\displaystyle M=[0,1]}$. Тогда:

---