Неравенство Птолемея

---

Для любых точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости выполнено неравенство

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ABCD}$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ лежат на одной прямой.

Простейшее доказательство получается с использованием комплексных чисел. Пусть комплексные числа ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,z_{4}}$ соответствуют точкам ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости. Тогда неравенство Птолемея равносильно неравенству

В случае обращения неравенства в равенство слагаемые в правой части должны быть пропорциональны вектору суммы и сонаправлены ему, то есть оба числа

---