Топология
Тополо́гия — раздел математики, который является разновидностью геометрии, посвященной изучению качественных свойств геометрических фигур, не зависящих от расстояний, величин углов, площадей и объёмов.
В отличие от геометрии, эквивалентными в топологии, по определению, считаются те фигуры, которые получаются друг из друга произвольной обратимой непрерывной деформацией. Такие деформации называются гомеоморфизмами. Например, сглаживая углы треугольника, его можно деформировать в круг, а затем, заостряя края круга, — в пятиугольник или любой другой выпуклый многоугольник, поэтому с точки зрения топологии все эти фигуры эквивалентны. Кроме того, кружка с ручкой и бублик гомеоморфны. Напротив, бублик и шар, а также кольцо и круг по некоторым причинам не гомеоморфны.
Первостепенной задачей топологии является задача классификации. Решение данной задачи требует топологических инвариантов, то есть таких характеристик пространства, которые сохраняются при гомеоморфизме. Изучение подобных характеристик послужило важным стимулом для развития топологии и восходит к открытию тождества Эйлера — соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В Р Г . Объяснение этого тождества с точки зрения топологии в том, что выражение слева от равенства является топологическим инвариантом, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой (и гомеоморфны шару). Впоследствии тождество Эйлера позволило установить топологический инвариант совершенно произвольного топологического пространства — его эйлерову характеристику. В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца.
Основными объектами исследования в топологии являются топологические пространства, которые в первом приближении представляют собой классы эквивалентности по описанному выше отношению (то есть гомеоморфности) геометрических фигур и произвольных метрических пространств.
За счёт того, что основные понятия топологии не требуют для своего определения никаких классических геометрических понятий, эта теория применяется к объектам, далёким от геометрических, проникает практически во все области математики и допускает многочисленные приложения.
Слово «топология» происходит от сочетания двух древнегреческих существительных: τόπος — место и λόγος — слово, учение. Буквально оно означает изучение места (пространства) или локальное исследование. Таким образом, топология занимается определением того, что такое пространство и каковы его свойства.