Углы Эйлера

---

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Введены Леонардом Эйлером.

В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как ${\displaystyle (x,y,z)}$, конечную как ${\displaystyle (X,Y,Z)}$. Пересечение координатных плоскостей ${\displaystyle xy}$ и ${\displaystyle XY}$ называется линией узлов ${\displaystyle N}$.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны, и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:

Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию пассивных поворотов^[en] вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид

---