Плотная упаковка равных сфер — такое расположение одинаковых неперекрывающихся сфер в пространстве, при котором занимаемая внутренними областями этих сфер доля пространства (плотность упаковки) максимальна, а также задача комбинаторной геометрии о поиске этой упаковки[1].
Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая плотность упаковки в трёхмерном пространстве, которая может быть достигнута простой регулярной упаковкой, равна
Эта плотность достигается в упаковках в гранецентрированную кубическую (ГЦК) и гексагональную плотноупакованную (ГП, ГПУ[2]) решётки (см. ниже). Гипотеза Кеплера утверждает, что эта упаковка имеет наивысшую плотность среди всех возможных упаковок сфер, регулярных и нерегулярных. Эту гипотезу доказал Т. К. Хейлз после многолетнего труда по программированию вычислений, необходимых для доказательства[3][4].
Существует две простые регулярные упаковки, на которых достигается максимальная средняя плотность. Они называются гранецентрированная кубическая (ГЦК) (или кубическая плотная упаковка) и шестиугольная плотная упаковка (ГП или ГПУ = Гексагональная плотноупакованная ячейка или решётка), в зависимости от симметрий решётки. Обе упаковки основываются на слоях сфер с центрами в вершинах треугольной мозаики. Обе упаковки можно представить как стопку одинаковых листов, внутри которых сферы уложены в треугольную решётку (плотноупакованных слоёв); ГЦК и ГП (ГПУ) отличаются положением этих листов относительно друг друга.
Расположение сфер в ГЦК упаковке образует одноимённую решётку. Расположение сфер в ГПУ упаковке не образуют решётку, однако является регулярным в том смысле, что все положения сфер неразличимы — группа симметрии ГПУ упаковки действует транзитивно на сферы.
ГЦК решётка в математике известна как решётка, генерируемая системой корней A3[5]. В англоязычной литературе данный вид ячейки называется face-centered cubic (fcc). ГП (ГПУ) решётка в англоязычной литературе называется hexagonal close-packed (hcp).