Упорядоченная группа

---

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем.

Далее в этом разделе группа считается аддитивной, то есть групповая операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом ${\displaystyle 0}$.

Пусть ${\displaystyle G}$ — коммутативная группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Подгруппа ${\displaystyle H}$ упорядоченной группы ${\displaystyle G}$ называется выпуклой, если все элементы ${\displaystyle g\in G}$, находящиеся между элементами ${\displaystyle H,}$ принадлежат ${\displaystyle H.}$ Формальная запись: если ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ и ${\displaystyle h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},}$ то ${\displaystyle g\in H.}$ Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

---