Упорядоченное поле

---

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Пусть ${\displaystyle F}$ — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

Если все 6 аксиом выполнены, то поле ${\displaystyle F}$ называется упорядоченным.

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества ${\displaystyle P}$, ноль и ${\displaystyle -P}$ не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим ${\displaystyle P_{0}=P\cup \{0\}}$ (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

---