Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

---

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в ${\displaystyle 6N}$-мерном фазовом пространстве (${\displaystyle N}$ — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами ${\displaystyle q_{i}}$ и сопряжёнными импульсами ${\displaystyle p_{i}}$, где ${\displaystyle i=1,\dots ,d,\;d=3N}$. Тогда распределение в фазовом пространстве ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i})}$ определяет вероятность ${\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ того, что система будет находиться в элементе объёма ${\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i};t)}$ во времени ${\displaystyle t}$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

---