Уравнение в функциональных производных

---

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах^[1]:

где: ${\displaystyle u}$ и коэффициенты ${\displaystyle p_{j}}$ являются функциями от ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$.

При переходе к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$ в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

где: ${\displaystyle U}$ - неизвестный функционал от функции ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \tau }$ - переменная интегрирования.

где: ${\displaystyle U_{x(\tau )}^{'}}$ - функциональная производная.

---