Уравнение теплопроводности

---

Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

В пространстве с произвольной системой координат ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\ldots ,r_{n})}$ уравнение теплопроводности имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(\mathbf {r} ,t),}$

где ${\displaystyle a}$ — положительная константа (число ${\displaystyle a^{2}}$ является коэффициентом температуропроводности), ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ — оператор Лапласа и ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)}$ — функция тепловых источников^[1]. Искомая функция ${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$ задает температуру в точке с координатами ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в момент времени ${\displaystyle t}$.

Данное уравнение можно объяснить следующим образом. Скорость изменения температуры во времени пропорциональна кривизне распределения температуры по пространству (второй производной). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" температуры в теле, тем быстрее в этих местах идёт выравнивание температуры.

В пространстве с декартовыми координатами ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ уравнение теплопроводности принимает вид

---