Формула Бернулли

---

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события ${\displaystyle A}$ определённое количество раз при любом числе независимых испытаний. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Теорема. Если вероятность ${\displaystyle p}$ наступления некоторого события в каждом испытании постоянна, то вероятность ${\displaystyle P_{n}^{k}}$ того, что данное событие наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях, равна ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$, где ${\displaystyle q=1-p}$.^[1]

Пусть проводится ${\displaystyle n}$ независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие ${\displaystyle A}$ наступает с вероятностью ${\displaystyle P(A)=p}$ и, следовательно, не наступает с вероятностью ${\displaystyle P({\bar {A}})=1-p=q}$. Пусть также в ходе испытаний вероятности ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате ${\displaystyle n}$ независимых испытаний событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз?

---