Фундаментальная область


Если дано топологическое пространство и группа действий на нём, образы отдельной точки под действием группы действий образуют орбиты действий. Фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит в точности по одной точке из каждой орбиты. Она даёт геометрическую реализацию абстрактного множества представителей орбит.

Существует множество способов выбора фундаментальной области. Обычно требуется, чтобы фундаментальная область была связным подмножеством с некоторыми ограничениями на границы, например, чтобы они были гладкими или многогранными. Образы выбранной фундаментальной области при действии группы образуют мозаику в пространстве. Одно из основных построений фундаментальных областей опирается на диаграммы Вороного.

Если задано действие группы G на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов, фундаментальная область для таких действий — это множество D представителей орбит. Обычно требуется, чтобы это множество было топологически простым и задавалось одним из нескольких конкретных способов. Обычное условие — чтобы D было почти открытым множеством в том смысле, что D должно быть симметрической разностью открытого множества в G с множеством нулевой меры для некоторой (квази)инвариантной меры на X. Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество[en] U, открытое множество, которое передвигается действием G в несвязные копии и почти так же, как D, представляет орбиты. Часто требуется, чтобы D было полным множеством представителей смежных классов с некоторыми повторениями, но чтобы повторяющаяся часть имела нулевую меру. Это обычная ситуация в эргодических теориях. Если фундаментальная область используется для вычисления интеграла на X/G, множество нулевой меры роли не играет.

Например, если X является евклидовым пространством Rn размерности n и Gрешётка Zn, действующая на ней как параллельный перенос, факторпространством X/G будет n-мерный тор. Можно взять в качестве фундаментальной области D [0,1)n, что отличается от открытого множества (0,1)n на множество нулевой меры, или замкнутый единичный куб [0,1]n, граница которого состоит из точек, орбиты которых имеют более одного представителя в D.

В случае, когда параллельный перенос комбинируется с другими типами симметрий, фундаментальной областью будет часть элементарной ячейки. Например, для групп планарной симметрии[en] фундаментальная область в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше примитивной ячейки.

Диаграмма справа показывает часть построения фундаментальной области для действия модулярной группы Γ на верхней полуплоскости H (здесь под верхней полуплоскостью понимается часть комплексной плоскости с положительным коэффициентом при i).