Функция Хаара

---

Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале ${\displaystyle \left[0,1\right)}$. Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом Хааром^[1]. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале ${\displaystyle \left[0,1\right)}$, можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: ${\displaystyle f(x)\sim c_{0}\chi _{0}^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{2^{m}}c_{m}^{(k)}\chi _{m}^{(k)}(x)}$.

Другие функции Хаара определены для всех натуральных ${\displaystyle m\geqslant 1,1\leqslant k\leqslant 2^{m}}$:

Здесь: ${\displaystyle l\neq k,1\leqslant l\leqslant 2^{m}}$.

---