Ханойская башня является одной из популярных головоломок XIX века. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причём кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.
Эту игру придумал французский математик Эдуард Люка в 1883 году[1], её продавали как забавную игрушку. Первоначально она называлась «Профессор Клаус (Claus) из Колледжа Ли-Су-Стьян (Li-Sou-Stian)»[1], но вскоре обнаружилось, что таинственный профессор из несуществующего колледжа — не более чем анаграмма фамилии изобретателя игры, профессора Люка (Lucas) из колледжа Сен-Луи (Saint Louis).
Рекурсивно решаем задачу «перенести башню из n−1 диска на 2-й штырь». Затем переносим самый большой диск на 3-й штырь, и рекурсивно решаем задачу «перенеси башню из n−1 диска на 3-й штырь».
Отсюда методом математической индукции заключаем, что минимальное число ходов, необходимое для решения головоломки, равно 2n − 1, где n — число дисков[2][3].
В информатике задачи, основанные на легенде о Ханойской башне, часто рассматривают в качестве примера использования рекурсивных алгоритмов и преобразования их к нерекурсивным.
Расположим штыри в виде треугольника. Начнём с самого маленького кольца и переложим его на любую отметку. В дальнейшем это кольцо нужно перемещать в том же направлении, что и при первом перекладывании. Затем перенесём какое-нибудь из оставшихся колец (такой ход единственный), после чего снова переложим самое маленькое кольцо и т. д. (Интересно заметить, что перенумеровав «кольца» по порядку, мы добьёмся неожиданного эффекта: чётные кольца будут перемещаться из одной вершины треугольника в другую в одном направлении, а нечётные — в противоположном направлении.)