Непрерывная дробь

---

где ${\displaystyle a_{0}}$ есть целое число, а все остальные ${\displaystyle a_{n}}$ — натуральные числа (положительные целые)^[1]. При этом числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ называются неполными частными или элементами цепной дроби^[2].

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

Любое вещественное число ${\displaystyle x}$ может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$, где

где ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ обозначает целую часть числа ${\displaystyle x}$.

---