Родился 13 июня 1961 года в Москве в семье студентов Московского энергетического института[1]. Отец — Михаил Васильевич Чалый, впоследствии учёный-электротехник, конструктор электроприборов, автор ряда изобретений[2]; мать — Алевтина Тихоновна Чалая, впоследствии кандидат технических наук, доцент кафедры технической кибернетики Севастопольского приборостроительного института, основатель и первый директор Севастопольской школы «Таврида». Брат Михаил (род. 1963) — капитан 2-го ранга запаса, заместитель генерального директора ЗАО «ГК „Таврида-Электрик“», депутат Законодательного собрания Севастополя[3].
Первые восемь месяцев Алексей вместе с родителями жил в комнате общежития, оборудованной в шахте лифта. Затем его отец тяжело заболел, и семья переехала в Севастополь[1] к месту службы деда по отцовской линии — вице-адмирала Василия Филипповича Чалого, командовавшего эскадрой Черноморского флота ВМФ СССР с 1956 по 1961 год и служившего 1-м заместителем командующего Черноморским флотом в течение четырёх лет.
С 1978 по 1981 год обучался Севастопольском высшем военно-морском инженерном училище, окончил три курса. С 1981 года заочно обучался в Севастопольском приборостроительном институте по специальности «Техническая кибернетика, автоматика и телемеханика», окончил обучение с отличием в 1983 году[4]. Спустя несколько лет защитил кандидатскую диссертацию[источник не указан 1728 дней].
Во время учёбы в институте начал работать в вузовской лаборатории электрических аппаратов, которую возглавил в 1988 году[4]. В 1990 году лаборатория была преобразована в научно-производственное предприятие «Таврида Электрик»[5][6]. Созданное Алексеем Чалым предприятие буквально спасло от развала несколько конструкторских бюро, а его первой конкурентоспособной продукцией стали интеллектуальные вакуумные выключатели[7].
С 24 февраля по 1 апреля 2014 года[нет в источнике] был председателем Координационного совета по организации управления по обеспечению жизнедеятельности Севастополя[8][9], с 1 по 14 апреля 2014 года — исполняющим обязанности губернатора Севастополя[4].
Работал председателем Законодательного собрания Севастополя с 22 сентября 2014 по 22 марта 2016 года[4][10].