Четверная группа Клейна

---

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается ${\displaystyle V}$ или ${\displaystyle V_{4}}$ (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

Бинарная операция между элементами ${\displaystyle \{1,a,b,ab\}}$ (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли^[1]:

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра ${\displaystyle D_{2}}$^[2]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа ${\displaystyle S_{4}}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу ${\displaystyle A_{4}}$ и четверную группу Клейна ${\displaystyle V_{4}}$, состоящую из подстановок ${\displaystyle (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$^[2].

---