Число Ферма

---

Числа Ферма́ — числа вида ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ (последовательность A000215 в OEIS).

При ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\}}$ числа Ферма простые и равны ${\displaystyle \ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537;}$.

Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа ${\displaystyle F_{5}}$ на простые сомножители:

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если ${\displaystyle 2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)}$, то ${\displaystyle n}$ — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ${\displaystyle n=341}$), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение ${\displaystyle 2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})}$ верно при всех ${\displaystyle n}$^[1].

На 2023 год известны 5 простых чисел Ферма — при ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\}\colon }$^[2]

---