Арифметическая функция


Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества комплексных чисел .

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,