Эргодичность

---

Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Пусть ${\displaystyle (X,\;\Sigma ,\;\mu \,)}$ есть вероятностное пространство и ${\displaystyle T:X\to X}$ — отображение, сохраняющее меру.

Отображение T эргодично по отношению к ${\displaystyle \mu }$, если выполнено следующее условие:

для любого T-инвариантного подмножества ${\displaystyle E\in \Sigma }$ (то есть такого, что ${\displaystyle T^{-1}(E)=E}$) либо ${\displaystyle \mu (E)=0}$, либо ${\displaystyle \mu (E)=1}$.

---