K(G,n) пространство

---

${\displaystyle K(G,n)}$ пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой ${\displaystyle G}$ в размерности ${\displaystyle n}$.

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle n}$ — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle K(G,n)}$ пространством, если оно имеет ${\displaystyle n}$-ную гомотопическую группу ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ изоморфную ${\displaystyle G}$, а все остальные гомотопические группы ${\displaystyle X}$ тривиальны.

Если ${\displaystyle n>1}$, то необходимо предположить, что ${\displaystyle G}$ коммутативна.

При данных ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle n}$, пример ${\displaystyle K(G,n)}$ пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из ${\displaystyle n}$-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы ${\displaystyle G}$, и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности ${\displaystyle n+1}$.

---