L-функция Дирихле

---

L-функция Дирихле ${\displaystyle L_{\chi }(s)}$ — комплексная функция, заданная при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>0}$ (при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ в случае главного характера) формулой

где ${\displaystyle \chi (n)}$ — некоторый числовой характер (по модулю k). ${\displaystyle L}$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства ${\displaystyle L_{\chi }(1)\neq 0}$ для неглавных характеров.

В силу мультипликативности числового характера ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle L}$-функция Дирихле представима в области ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ в виде эйлерова произведения по простым числам:

Эта формула обуславливает многочисленные применения ${\displaystyle L}$-функций в теории простых чисел.

${\displaystyle L}$-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ формулой

Эта формула позволяет доопределить ${\displaystyle L_{\chi _{0}}(s)}$ для области ${\displaystyle Re(s)>0}$ c простым полюсом в точке ${\displaystyle s=1}$.

---