Курт родился 3 августа 1956 года в Войенсе (Дания). Его гоночная карьера, как у многих, началась в картинге, откуда в 1978 году он перешёл в Формулу-Форд. После этого, с 1980 по 1984 годы он участвовал в различных чемпионатах Ф3 — Европейском и Немецком, а также Британском. После победы по итогам сезона Немецкого чемпионата Ф3 в 1984 года Тиим ушёл из гонок автомобилей с открытыми колесами, так как переход в более сильные чемпионаты ему не давался.
Через год Тиим дебютировал в ДТМ за рулем Rover Vitesse и, одержав 3 победы в 9 гонках, сразу же стал чемпионом — в то время в ДТМ частники ещё могли добиваться выдающихся результатов. Однако в следующем году, когда он пересел за руль частной же Альфа Ромео 75 Турбо, то ничего не мог поделать с заводскими БМВ и Фордами, пришедшими в чемпионат в 1987 г. В итоге — только 21-е место, но его усилия были замечены в БМВ, и он сменил ушедшего чемпиона Эрика ван де Поэля, сразу же начав с победы, однако посреди сезона он перешёл в Мерседес, где также быстро освоился. В 1989 году он уже боролся за чемпионат, но завершил сезон лишь 4-м, хоть и одержал 2 победы. В итоге он остался с Мерседес до самого краха ДТМ в 1996 году, провёл всего в чемпионате 209 гонок, одержал 18 побед, но больше чемпионом не стал, а его лучшая позиция по итогам сезона — 2-е место в 1992 году.
После краха ДТМ Курт Тиим принимал участие в различных туринговых чемпионатах, включая немецкий Супертуринг, Туринг и датский Туринг, а также V8Star и Немецкий Кубок Порше, но за все это время лишь 4 раза добивался побед в гонках (датский Туринг). В новом ДТМ он не выступал.
Сейчас Курт следит за многообещающей карьерой своего сына Никки Тиима, который выступает в Суперкубке СЕАТ Леон, проходящем в рамках уикендов ДТМ.