Трилатерация

---

Трилатерация (от лат. trilaterus — трёхсторонний) — метод определения положения геодезических пунктов путём построения на местности системы смежных треугольников, в которых измеряются длины их сторон^[1]. Является одним из методов определения координат на местности наряду с триангуляцией (в которой измеряются углы соответствующих треугольников) и полигонометрией (производится измерение как углов, так и расстояний). В основе трилатерации лежит линейная засечка.

В геометрии трёхмерная проблема трилатерации представляет собой нахождение координат точки пересечения трёх сфер, которые определяются путём решения системы уравнений. Чтобы упростить вычисления, полагаем, что центры всех трёх сфер лежат в плоскости ${\displaystyle z=0}$, один из них совпадает с началом координат, второй — лежит на оси ${\displaystyle x}$. Наложенные ограничения не уменьшают общности: к такому виду может быть приведена любая система соответствующих уравнений путём перехода к другой системе координат. Чтобы найти решение в исходной системе координат, к решению, найденному в этой (приведенной) системе координат, применяются преобразования, обратные к тем, которые позволили исходное множество из трёх точек привести в соответствие с ограничениями.

Нужно найти точку ${\displaystyle (x,y,z)}$, удовлетворяющую всем трём уравнениям.

Вначале вычтем второе уравнение из первого и найдём ${\displaystyle x}$:

Считаем, что первые две сферы пересекаются более, чем в одной точке, то есть ${\displaystyle d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}}$. В этом случае, подставляя выражение ${\displaystyle x}$ в уравнение первой сферы, получаем уравнение окружности, которое является искомым пересечением первых двух сфер:

Подставляем :${\displaystyle y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}}$ в уравнение третьей сферы и находим ${\displaystyle y}$:

---