Функционал

---

Функциона́л — функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$. В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе, а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Функционал, заданный на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, называется непрерывным в точке ${\displaystyle x\in X}$, если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

---