Метод матрицы переноса - это метод, используемый в оптике и акустике для анализа распространения электромагнитных или акустических волн через стратифицированную среду . [1] Это актуально, например, для создания просветляющих покрытий и диэлектрических зеркал .
Отражение от света из единого интерфейса между двумя средами описываются уравнениями Френеля . Однако при наличии нескольких интерфейсов , как показано на рисунке, сами отражения также частично передаются, а затем частично отражаются. В зависимости от точной длины пути эти отражения могут создавать деструктивные или конструктивные помехи . Общее отражение слоистой структуры - это сумма бесконечного числа отражений.
Метод матрицы переноса основан на том факте, что, согласно уравнениям Максвелла , существуют простые условия непрерывности электрического поля через границы от одной среды к другой. Если поле известно в начале слоя, поле в конце слоя может быть получено с помощью простой матричной операции. Пакет слоев затем может быть представлен как системная матрица, которая является продуктом отдельных матриц слоев. Последний шаг метода включает преобразование матрицы системы обратно в коэффициенты отражения и передачи .
Формализм для электромагнитных волн
Ниже описывается, как матрица переноса применяется к электромагнитным волнам (например, свету) заданной частоты, распространяющимся через стопку слоев при нормальном падении . Его можно обобщить для рассмотрения падения под углом, поглощающих сред и сред с магнитными свойствами . Считаем, что слои стопки перпендикулярныоси и что поле в пределах одного слоя можно представить как суперпозицию бегущей влево и вправо волны с волновым числом ,
- .
Поскольку из уравнения Максвелла следует, что а также должно быть непрерывным через границу, поле удобно представить в виде вектора , где
- .
Поскольку есть два уравнения, связывающих а также к а также , эти два представления эквивалентны. В новом представлении распространение на расстояние в положительный направление описывается унимодулярной матрицей
а также
Такая матрица может представлять распространение через слой, если - волновое число в среде и толщина слоя: Для системы с слои, каждый слой имеет передаточную матрицу , где увеличивается к более высокому значения. Матрица переноса системы тогда
Обычно желательно знать коэффициент отражения и коэффициент пропускания слоистой структуры. Если стек слоев начинается с, то для отрицательных , поле описывается как
где - амплитуда набегающей волны, волновое число в левой среде, и - амплитудный (а не интенсивный!) коэффициент отражения слоистой структуры. На другой стороне слоистой структуры поле состоит из передаваемого поля, распространяющегося вправо.
где - коэффициент пропускания по амплитуде, - волновое число в самой правой среде, а общая толщина. Если а также , то мы можем решить
в терминах матричных элементов матрицы системы и получить
а также
- .
Коэффициент пропускания и отражения (т. Е. Доли падающей интенсивности передаются и отражаются слоем) часто имеют более практическое применение и задаются а также соответственно (при нормальной заболеваемости).
Пример
В качестве иллюстрации рассмотрим одиночный слой стекла с показателем преломления n и толщиной d, подвешенный в воздухе с волновым числом k (в воздухе). В стекле волновое число. Матрица передачи
- .
Коэффициент амплитудного отражения можно упростить до
- .
Эта конфигурация эффективно описывает интерферометр Фабри – Перо или эталон: для, отражение исчезает.
Акустические волны
К звуковым волнам можно применить метод трансфер-матрицы. Вместо электрического поля E и его производной F смещение u и напряжение , где - модуль p-волны , следует использовать.
Формализм матрицы Абелеса
Матричный метод Абелес [2] [3] [4] является вычислительно быстрым и простым способом , чтобы вычислить коэффициент зеркального отражени от стратифицированного интерфейса, в зависимости от перпендикулярного переданного импульса , Q г :
где θ - угол падения / отражения падающего излучения, а λ - длина волны излучения. Измеренная отражательная способность зависит от изменения профиля плотности длины рассеяния (SLD), ρ ( z ), перпендикулярного границе раздела. Хотя профиль плотности длины рассеяния обычно является непрерывно изменяющейся функцией, межфазную структуру часто можно хорошо аппроксимировать с помощью модели плиты, в которой слои толщины ( d n ), плотности длины рассеяния ( ρ n ) и шероховатости (σ n, n + 1 ) зажаты между супер- и подфазами. Затем используется процедура уточнения для минимизации различий между теоретической и измеренной кривыми отражательной способности путем изменения параметров, описывающих каждый слой.
В этом описании интерфейс разделен на n слоев. Поскольку падающий пучок нейтронов преломляется каждым из слоев, волновой вектор k в слое n определяется выражением:
Коэффициент отражения Френеля между слоями n и n + 1 тогда определяется как:
Поскольку граница раздела между каждым слоем вряд ли будет идеально гладкой, шероховатость / диффузность каждой поверхности изменяет коэффициент Френеля и учитывается функцией ошибок , как описано Невотом и Кроче (1980) .
Вводится фазовый коэффициент β , который учитывает толщину каждого слоя.
где . Затем для каждого слоя рассчитывается характеристическая матрица c n .
Результирующая матрица определяется как произведение этих характеристических матриц
из которого коэффициент отражения рассчитывается как:
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Родился, М .; Вольф Э. Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференция и дифракция света . Оксфорд, Pergamon Press, 1964.
- ^ OS Небеса. Оптические свойства тонких пленок . Баттерворт, Лондон (1955).
- ^ Л. Невот, П. Кроче, Revue de Physique appliquée , 15 , 761 (1980).
- ^ F. Ābeles , Le Journal де Телосложение и др ль радий , "La Théorie женераль де кушетка рубит", 11 , 307-310 (1950).
дальнейшее чтение
- Многослойная отражательная способность : вывод из первых принципов вероятностей прохождения и отражения от многослойного материала со сложными показателями преломления.
- Слоистые материалы и диаграммы фотонных зон (лекция 23) в открытом курсе Массачусетского технологического института « Электронные, оптические и магнитные свойства материалов» .
- Распространение электромагнитных волн через тонкие пленки и многослойные слои (лекция 13) в открытых курсах MIT « Нано-макро-процессы переноса» . Включает короткое обсуждение акустических волн.
Внешние ссылки
Существует ряд компьютерных программ, реализующих этот расчет:
- FreeSnell - это автономная компьютерная программа, которая реализует метод матрицы переноса, включая более сложные аспекты, такие как гранулированные пленки.
- Thinfilm - это веб-интерфейс, реализующий метод трансфер-матрицы, выводящий коэффициенты отражения и пропускания, а также эллипсометрические параметры Psi и Delta.
- Luxpop.com - еще один веб-интерфейс, реализующий метод матрицы переноса.
- Программы расчета трансфер-матрицы на Python и в системе Mathematica .
- Программное обеспечение EMPy («Электромагнитный питон») .
- motofit - программа для анализа данных нейтронной и рентгеновской рефлектометрии.
- OpenFilters - это программа для создания оптических фильтров.
- Py_matrix - это код Python с открытым исходным кодом, который реализует метод матрицы переноса для многослойных слоев с произвольными диэлектрическими тензорами. Он был специально создан для плазмонных и магнитоплазмонных расчетов.
- Встроенный в браузер калькулятор и установщик Интерактивный калькулятор отражательной способности Javascript с использованием матричного метода и приближения шероховатости Невота-Кроче (расчетное ядро преобразовано из C через Emscripten )