Ускорение

Ускорение
В вакууме (без сопротивления воздуха ) объекты, притягиваемые Землей, набирают скорость с постоянной скоростью.
Общие символы	а
Единица СИ	м / с 2 , м · с −2 , м с −2
Производные от других величин	${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} {dt ^ {2}}}}$
Измерение	${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}$

Часть серии по
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В механике , ускорение является скорость изменения в скорости объекта по времени. Ускорения - это векторные величины (в том смысле, что они имеют величину и направление ). ^{[1] [2]} Ориентация ускорения объекта задается ориентацией результирующей силы, действующей на этот объект. Величина ускорения объекта, как описано вторым законом Ньютона , ^[3] является комбинированным эффектом двух причин:

• чистый баланс всех внешних сил, действующих на этот объект - величина прямо пропорциональна этой чистой результирующей силе;
• масса этого объекта , зависящая от материалов, из которых он сделан - величина обратно пропорциональна массе объекта.

СИ единица для ускорения метр в секунду в квадрате ( m⋅s ^-2 , ).${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {m} }{\operatorname {s} ^{2}}}}$

Например, когда транспортное средство трогается с места (нулевая скорость в инерциальной системе отсчета ) и движется по прямой с увеличивающейся скоростью, оно ускоряется в направлении движения. Если автомобиль поворачивает, происходит ускорение в новом направлении и изменяется вектор движения. Ускорение транспортного средства в его текущем направлении движения называется линейным (или тангенциальным во время круговых движений ) ускорением, реакция, на которую пассажиры на борту испытывают как силу, толкающую их обратно на сиденья. При изменении направления действующее ускорение называется радиальным (илиортогональные во время круговых движений) ускорение, реакция на которую пассажиры воспринимают как центробежную силу . Если скорость транспортного средства уменьшается, это ускорение в противоположном направлении и математически отрицательное , иногда называемое замедлением , и пассажиры ощущают реакцию на замедление как силу инерции, толкающую их вперед. Такие отрицательные ускорения часто достигаются за счет сжигания ретракет в космических кораблях . ^[4] И ускорение, и замедление рассматриваются как изменения скорости. Каждое из этих ускорений (тангенциальное, радиальное, замедление) ощущается пассажирами до тех пор, пока их относительная (дифференциальная) скорость не будет нейтрализована относительно транспортного средства.

Определение и свойства [ править ]

Среднее ускорение [ править ]

Среднее ускорение объекта за период времени - это изменение его скорости, деленное на продолжительность периода . Математически,${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} )}$${\displaystyle (\Delta t)}$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$

Мгновенное ускорение [ править ]

Между тем мгновенное ускорение - это предел среднего ускорения за бесконечно малый интервал времени. С точки зрения математики , мгновенное ускорение - это производная вектора скорости по времени:

${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

Поскольку ускорение определяется как производная скорости v по времени t, а скорость определяется как производная от положения x по времени, ускорение можно рассматривать как вторую производную от x по t :

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}}$

(Здесь и в других местах, если движение происходит по прямой линии , векторные величины могут быть заменены скалярами в уравнениях.)

По основной теореме исчисления можно видеть, что интеграл от функции ускорения a ( t ) является функцией скорости v ( t ) ; то есть площадь под кривой графика зависимости ускорения от времени ( a от t ) соответствует скорости.

v = ∫ a   d t {\displaystyle \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \ dt}

Аналогичным образом, интеграл от рывковой функции j ( t ) , производной от функции ускорения, может использоваться для определения ускорения в определенный момент времени:

${\displaystyle \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \ dt}$

Единицы [ править ]

Ускорение измеряется скоростью (L / T), деленной на время, то есть L T ⁻² . СИ единицей ускорения является метр в секунду в квадрате (мс ^-2 ); или «метр в секунду в секунду», поскольку скорость в метрах в секунду изменяется на величину ускорения каждую секунду.

Другие формы [ править ]

Объект, движущийся по кругу, например спутник, вращающийся вокруг Земли, ускоряется из-за изменения направления движения, хотя его скорость может быть постоянной. В этом случае говорят, что он испытывает центростремительное (направленное к центру) ускорение.

Правильное ускорение - ускорение тела относительно свободного падения - измеряется прибором, называемым акселерометром .

В классической механике для тела с постоянной массой (векторное) ускорение центра масс тела пропорционально вектору суммарной силы (то есть сумме всех сил), действующей на него ( второй закон Ньютона ):

F = m a → a = F m {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}}

где Р является результирующая сила , действующая на тело, м есть масса тела, и является ускорение центра масс. Поскольку скорость приближения к скорости света , релятивистские эффекты становятся все более большим.

Тангенциальное и центростремительное ускорение [ править ]

Скорость частицы, движущейся по криволинейной траектории, как функция времени может быть записана как:

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),}$

где v ( t ) равна скорости движения по пути, и

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ ,}$

единичный вектор касательной к траектории , указывая в направлении движения в выбранный момент времени. Принимая во внимание как изменяющуюся скорость v (t), так и изменяющееся направление u _t , ускорение частицы, движущейся по криволинейной траектории, может быть записано с использованием цепного правила дифференцирования ^[5] для произведения двух функций времени как :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\\\end{alignedat}}}$

где u _n - единичный (внутренний) вектор нормали к траектории частицы (также называемый главной нормалью ), а r - ее мгновенный радиус кривизны, основанный на соприкасающейся окружности в момент времени t . Эти компоненты называются тангенциальным ускорением и нормальным или радиальным ускорением (или центростремительным ускорением при круговом движении, см. Также круговое движение и центростремительную силу ).

Геометрический анализ трехмерных пространственных кривых, объясняющий касательную, (главную) нормальную и бинормальную, описывается формулами Френе – Серре . ^{[6] [7]}

Особые случаи [ править ]

Равномерное ускорение [ править ]

Равномерное или постоянное ускорение - это тип движения, при котором скорость объекта изменяется на равную величину за каждый равный период времени.

Часто упоминаемый пример равномерного ускорения - это объект, падающий в свободном падении в однородном гравитационном поле. Ускорение падающего тела при отсутствии сопротивлений движению зависит только от гравитационного поля силы г (также называемое ускорение силы тяжести ). По второму закону Ньютона сила , действующая на тело определяется по формуле:${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$

${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} }$

Из-за простых аналитических свойств случая постоянного ускорения существуют простые формулы, связывающие смещение , начальную и зависящую от времени скорости , а также ускорение с прошедшим временем : ^[8]

${\displaystyle \mathbf {s} (t)=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} _{0}+{\frac {\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)}{2}}t}$

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t}$

${\displaystyle {v^{2}}(t)={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}]}$

куда

• ${\displaystyle t}$ это прошедшее время,
• ${\displaystyle \mathbf {s} _{0}}$ - начальное смещение от начала координат,
• ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$это смещение от начала координат во времени ,${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ - начальная скорость,
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$- скорость во времени , а${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ - равномерная скорость ускорения.

В частности, движение можно разделить на две ортогональные части, одну с постоянной скоростью, а другую в соответствии с приведенными выше уравнениями. Как показал Галилей , конечным результатом является параболическое движение, которое описывает, например, параболическое движение. ж., траектория полета снаряда в вакууме у поверхности Земли. ^[9]

Круговое движение [ править ]

При равномерном круговом движении , то есть перемещении с постоянной скоростью по круговой траектории, частица испытывает ускорение в результате изменения направления вектора скорости, в то время как его величина остается постоянной. Производная положения точки на кривой по времени, то есть ее скорость, всегда оказывается точно касательной к кривой, соответственно ортогональной радиусу в этой точке. Поскольку при равномерном движении скорость в тангенциальном направлении не меняется, ускорение должно быть в радиальном направлении, указывая на центр окружности. Это ускорение постоянно меняет направление скорости на касательную в соседней точке, тем самым поворачивая вектор скорости по окружности.

• Для заданной скорости величина этого геометрически обусловленного ускорения (центростремительного ускорения) обратно пропорциональна радиусу окружности и увеличивается пропорционально квадрату этой скорости:${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$

a c = v 2 r . {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\;.}

• Обратите внимание, что для данной угловой скорости центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу . Это связано с зависимостью скорости от радиуса .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle v=\omega r.}$

Выражая вектор центростремительного ускорения в полярных компонентах, где - вектор от центра круга до частицы с величиной, равной этому расстоянию, и учитывая ориентацию ускорения к центру, получаем${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\;.}$

Как обычно при вращениях, скорость частицы может быть выражена как угловая скорость относительно точки на расстоянии как${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$

ω = v r . {\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}

Таким образом ${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-\omega ^{2}\mathbf {r} \;.}$

Это ускорение и масса частицы определяют необходимую центростремительную силу , направленную к центру круга, как результирующую силу, действующую на эту частицу, чтобы удерживать ее в этом равномерном круговом движении. Так называемая ` ` центробежная сила '', которая, кажется, действует на тело вовне, представляет собой так называемую псевдосилу, испытываемую в системе отсчета тела при круговом движении из-за линейного импульса тела , вектора касательного к окружности. движения.

При неравномерном круговом движении, т. Е. Скорость по криволинейной траектории изменяется, ускорение имеет ненулевую составляющую, касательную к кривой, и не ограничивается главной нормалью , которая направлена ​​к центру соприкасающейся окружности, т.е. определяет радиус центростремительного ускорения. Тангенциальная составляющая определяется угловым ускорением , т. Е. Скоростью изменения угловой скорости, умноженной на радиус . То есть,${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$

Знак тангенциальной составляющей ускорения определяется знаком углового ускорения ( ), а касательная всегда направлена ​​под прямым углом к ​​радиус-вектору.${\displaystyle \alpha }$

Отношение к теории относительности [ править ]

Специальная теория относительности [ править ]

Специальная теория относительности описывает поведение объектов, движущихся относительно других объектов со скоростью, приближающейся к скорости света в вакууме. Совершенно очевидно, что ньютоновская механика является приближением к реальности, действительным с большой точностью на более низких скоростях. Поскольку соответствующие скорости увеличиваются в сторону скорости света, ускорение больше не подчиняется классическим уравнениям.

По мере приближения скорости к скорости света ускорение, создаваемое данной силой, уменьшается, становясь бесконечно малым по мере приближения к скорости света; объект с массой может асимптотически приблизиться к этой скорости , но никогда не достичь ее.

Общая теория относительности [ править ]

Пока состояние движения объекта не известно, невозможно различить, вызвана ли наблюдаемая сила силой тяжести или ускорением - сила тяжести и ускорение инерции имеют одинаковые эффекты. Альберт Эйнштейн назвал это принципом эквивалентности и сказал, что только наблюдатели, которые вообще не ощущают силы, включая силу гравитации, могут сделать вывод о том, что они не ускоряются. ^[10]

Конверсии [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме ускорения .

• Калькулятор ускорения Простой конвертер единиц ускорения
• Калькулятор ускорения Калькулятор преобразования ускорения преобразует единицы из метра в секунду в квадрате, километра в секунду в квадрате, миллиметра в секунду в квадрате и др. С метрическим преобразованием.