Эта статья посвящена специальной функции Эйри. Для функции напряжения Эйри, используемой в механике твердого тела, см. Функции напряжения . Для функции диска Эйри, которая описывает картину дифракции оптики через круглую апертуру, см. Диск Эйри .
В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода ) Ai ( x ) - это специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция Ai ( x ) и связанная с ней функция Bi ( x ) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения
известное как уравнение Эйри или уравнение Стокса . Это простейшее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный). [ необходима цитата ]
Функция Эйри является решением не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольную потенциальную яму, и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ , когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах .
Функция Эйри также лежит в основе формы интенсивности вблизи направленной оптической каустики , такой как радуга . Исторически именно эта математическая проблема побудила Эйри разработать эту специальную функцию.
которое сходится по критерию Дирихле . Для любого действительного числа существует положительное действительное число такое, что функция возрастает, неограничена и выпукла с непрерывной и неограниченной производной на интервале . Сходимость интеграла на этом интервале проверяется критерием Дирихле после подстановки .
y = Ai ( x ) удовлетворяет уравнению Эйри
Это уравнение имеет два линейно независимых решения. С точностью до скалярного умножения Ai ( x ) является решением, удовлетворяющим условию y → 0 при x → ∞. Стандартным выбором для другого решения является функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi ( x ). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai ( x ) при x → −∞, которое отличается по фазе на π / 2:
Значения Ai ( x ) и Bi ( x ) и их производные при x = 0 задаются формулами
Здесь Γ обозначает гамма-функцию . Отсюда следует, что вронскиан Ai ( x ) и Bi ( x ) равен 1 / π.
Когда x положительный, Ai ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально убывающий до нуля, а Bi ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда x отрицателен, Ai ( x ) и Bi ( x ) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.
Функции Эйри ортогональны [1] в том смысле, что
снова используя несобственный интеграл Римана.
Асимптотические формулы [ править ]
Ai (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Ai (пурпурный)
Bi (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)
Как объясняется ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции . Асимптотика функций Эйри при | z | стремится к бесконечности при постоянном значении arg ( z ), зависит от arg ( z ): это называется феноменом Стокса . Для | arg ( z ) | <π имеем следующую асимптотическую формулу для Ai ( z ): [2]
и аналогичная для Bi ( z ), но применима только тогда, когда | arg ( z ) | <π / 3:
Более точная формула для Ai ( z ) и формула для Bi ( z ), когда π / 3 <| arg ( z ) | <π или, что то же самое, для Ai (- z ) и Bi (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не ноль, равны: [2] [3]
Когда | arg ( z ) | = 0 это хорошие приближения, но не асимптотические, потому что соотношение между Ai (- z ) или Bi (- z ) и указанным выше приближением стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю.
Также доступны асимптотические разложения для этих пределов. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1983) и (Olver, 1974).
Можно также получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π: [3]
Когда | arg (z) | <π / 3, мы имеем: [3]
Аналогично, выражение для Ai '(- z ) и Bi' (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не ноль, равны [3]
Сложные аргументы [ править ]
Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом:
где интеграл ведется по пути C, начинающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом −π / 3 и заканчивающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение y ′ ′ - xy = 0, чтобы расширить Ai ( x ) и Bi ( x ) до целых функций на комплексной плоскости.
Асимптотическая формула для Ai ( x ) все еще действительна в комплексной плоскости, если взято главное значение x 2/3 и x отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi ( x ) верна, если x находится в секторе { x ∈ C : | arg ( x ) | <(π / 3) −δ} для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai (- x ) и Bi (- x ) верны, если x находится в секторе { x ∈ C : | arg ( x ) | <(2π / 3) −δ}.
Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что и Ai ( x ), и Bi ( x ) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai ( x ) не имеет других нулей в комплексной плоскости, а функция Bi ( x ) также имеет бесконечно много нулей в секторе { z ∈ C : π / 3 <| arg ( z ) | <π / 2}.
Сюжеты [ править ]
Связь с другими специальными функциями [ править ]
Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя :
Здесь I ± 1/3 и K 1/3 - решения
Первая производная функции Эйри равна
Функции K 1/3 и K 2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов [4] (см. Также модифицированные функции Бесселя )
Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя :
Здесь J ± 1/3 - решения
В функции Секретарский Hi (х) и -gi (х) решить уравнение у '' - ху = 1 / я. Их также можно выразить в терминах функций Эйри:
Преобразование Фурье [ править ]
Используя определение функции Эйри Ai ( x ), нетрудно показать, что ее преобразование Фурье задается формулой
Другие варианты использования термина "функция Эйри" [ править ]
«Функция Эйри» в смысле пропускания интерферометра Фабри-Перо.
Функция пропускания интерферометра Фабри – Перо также называется функцией Эйри : [5]
где обе поверхности имеют коэффициент отражения R и
является коэффициент утонченность .
Дифракция на круглом отверстии [ править ]
«Функция Эйри» в смысле дифракции на круговой диафрагме.
Независимо, как третье значение термина, форма диска Эйри, возникающая в результате дифракции волны на круглой апертуре, иногда также обозначается как функция Эйри (см., Например, здесь ). Этот вид функции тесно связан с функцией Бесселя .
История [ править ]
Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892), который столкнулся с ней в своем раннем исследовании оптики в физике (Эйри, 1838). Обозначение Ai ( x ) было введено Гарольдом Джеффрисом . Эйри стал британским королевским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.
См. Также [ править ]
Доказательство гипотезы Виттена использовало матричнозначное обобщение функции Эйри.
Дзета-функция Эйри
Заметки [ править ]
^ David E. Aspnes, Physical Review, 147 , 554 (1966)
^ a b Abramowitz & Stegun (1983 , стр. 448) , уравнения 10.4.59, 10.4.61 harvtxt error: no target: CITEREFAbramowitzStegun1983 (help)
^ a b c d Abramowitz & Stegun (1983 , стр. 448) , уравнения 10.4.60 и 10.4.64 harvtxt error: no target: CITEREFAbramowitzStegun1983 (help)
^ M.Kh.Khokonov. Каскадные процессы потери энергии излучением жестких фотонов // ЖЭТФ, Т.99, №4, с. 690-707 \ (2004).
Перейти ↑ Hecht, Eugene (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-11609-X.Разд. 9,6
Ссылки [ править ]
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 10» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустика» , Труды Кембриджского философского общества , University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS ... 6..379A
Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198 , архивируются с оригинала на 2010-01-13 , извлекаться 2010-05-14
Страницы функций Wolfram для функций Ai и Bi . Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
Olver, FWJ (2010), «Эйри и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248