Алгебраические структуры |
---|
В математике , алгебра над полем (часто просто называется алгебра ) является векторным пространством оснащен билинейным продуктом . Таким образом, алгебра - это алгебраическая структура, состоящая из набора вместе с операциями умножения и сложения и скалярного умножения на элементы поля и удовлетворяющая аксиомам, вытекающим из «векторного пространства» и «билинейности». [1]
Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативной , что приводит к понятиям ассоциативных алгебр и неассоциативных алгебр . Дан целое число п , то кольцо из действительных квадратных матриц порядка п является пример ассоциативной алгебры над полем действительных чисел при сложении матриц и умножении матриц , так как умножение матриц ассоциативно. Трехмерное евклидово пространство с умножением на векторное произведениеявляется примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное векторное произведение неассоциативно, удовлетворяя вместо этого тождество Якоби .
Алгебра является унитальной или унитарной, если она имеет единичный элемент относительно умножения. Кольцо вещественных квадратных матриц порядка n образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом по отношению к умножению матриц. Это пример ассоциативной алгебры с единицей, кольца с единицей , которое также является векторным пространством.
Многие авторы используют термин « алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры или ассоциативной алгебры с единицей , или в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия , ассоциативная коммутативная алгебра с единицей .
Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом . Алгебры не следует путать с векторными пространствами, снабженными билинейной формой , такими как внутренние пространства произведения , поскольку для такого пространства результат произведения находится не в пространстве, а скорее в поле коэффициентов.
Алгебра | векторное пространство | билинейный оператор | ассоциативность | коммутативность |
---|---|---|---|---|
сложные числа | произведение комплексных чисел | да | да | |
кросс-произведение трехмерных векторов | перекрестное произведение | Нет | Нет ( антикоммутативный ) | |
кватернионы | Гамильтон продукт | да | Нет |
Пусть K - поле, и пусть A - векторное пространство над K, снабженное дополнительной бинарной операцией из A × A в A , обозначаемой здесь · (т.е. если x и y - любые два элемента A , x · y - это продукт из х и у ). Тогда является алгебра над K , если выполнены следующие тождества для всех элементов х ,y , z ∈ A , и все элементы (часто называемые скалярами ) a и b из K :
Эти три аксиомы - еще один способ сказать, что двоичная операция является билинейной . Алгебра над K иногда также называется К - алгебра , а K называется базовой поле из A . Бинарную операцию часто называют умножением в А . Соглашение, принятое в этой статье, состоит в том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативно , хотя некоторые авторы используют термин алгебра для обозначения ассоциативной алгебры .
Когда бинарная операция над векторным пространством коммутативна , левая дистрибутивность и правая дистрибутивность эквивалентны, и в этом случае только одна дистрибутивность требует доказательства. В общем, для некоммутативных операций левая и правая дистрибутивность не эквивалентны и требуют отдельных доказательств.
Учитывая , K -алгебр и В , А К - алгебра гомоморфизм является К - линейное отображение F : → B такой , что F ( х ) = е ( х ) е ( у ) для всех х , у в А . Пространство всех гомоморфизмов K -алгебр между A и B часто записывается как
A K - алгебры изоморфизм является взаимно однозначным K - алгебра гомоморфизма. Практически изоморфные алгебры различаются только обозначениями.
Подалгебра алгебры над полем K является линейным подпространством , что обладает свойством , что произведение любых двух его элементов снова в подпространстве. Другими словами, подалгебра алгебры - это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. В символах, мы говорим , что подмножество L из К - алгебры А является подалгеброй , если для каждого х , у в L и C в K , имеем х · у , х + у и схвсе в L .
В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная реальная прямая является подалгеброй.
Левый идеал из К - алгебры есть линейное подпространство, обладает тем свойством , что любой элемент подпространства , умноженный слева на любой элемент алгебры производит элемент подпространства. В символах мы говорим, что подмножество L в K -алгебре A является левым идеалом, если для любых x и y в L , z в A и c в K выполняются следующие три утверждения.
Если бы (3) заменить на x · z в L , то это определило бы правый идеал . Двусторонний идеал является подмножеством , который является одновременно левым и правым идеалом. Сам по себе термин « идеал» обычно означает двусторонний идеал. Конечно, когда алгебра коммутативна, все эти понятия идеала эквивалентны. Обратите внимание , что условия (1) и (2) совместно эквивалентны L является линейным подпространством А . Из условия (3) следует, что любой левый или правый идеал является подалгеброй.
Важно отметить, что это определение отличается от определения идеала кольца тем , что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то из условия (3) следует условие (2).
Если у нас есть расширение поля F / K , который должен сказать большее поле F , содержащий K , то есть естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K . Это та же самая конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение . Так что, если алгебра над К , то алгебра над F .
Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы задаются настаиванием на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие различным типам алгебр, часто очень разные.
Алгебра является унитальной или унитарной, если она имеет единицу или единичный элемент I с Ix = x = xI для всех x в алгебре.
Алгебра называется нулевой алгеброй, если uv = 0 для всех u , v в алгебре [2], не путать с алгеброй с одним элементом. Он по своей природе неунитален (за исключением случая только одного элемента), ассоциативен и коммутативен.
Можно определить нулевую алгебру с единицей , взяв прямую сумму модулей поля (или, в более общем смысле, кольца) K и K- векторного пространства (или модуля) V , и определив произведение каждой пары элементов V как нуль. То есть, если λ , μ ∈ K и u , v ∈ V , то ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Если e 1, ... e d является базисом V , нулевая алгебра с единицей - это фактор кольца многочленов K [ E 1 , ..., E n ] по идеалу, порожденному E i E j для каждой пары ( i , J ) .
Примером унитальной нулевой алгебры является алгебра двойственных чисел , унитальная нулевая R- алгебра, построенная из одномерного вещественного векторного пространства.
Эти нулевые алгебры с единицей могут быть более полезными, поскольку они позволяют переводить любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей . Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в кольце многочленов R = K [ x 1 , ..., x n ] над полем. Построение алгебры унитальных нулей над свободным R-модуль позволяет расширить эту теорию как базисную теорию Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Гребнера подмодуля использовать, без каких-либо изменений, любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов идеалов Гребнера.
Примеры ассоциативных алгебр включают
Не-ассоциативная алгебра [3] (или распределительная алгебра ) над полем K является K -векторного пространства оснащен K - билинейной картой . Использование слова «неассоциативный» здесь означает, что ассоциативность не предполагается, но не означает, что она запрещена, то есть означает «не обязательно ассоциативная».
Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:
Определение ассоциативной K -алгебры с единицей также часто дается альтернативным способом. В этом случае алгебра над полем K - это кольцо A вместе с гомоморфизмом колец
где Z ( ) является центром из A . Так как η является кольцевым гомоморфизмом, то следует иметь либо , что является нулевым кольцом , или что η является инъективен . Это определение эквивалентно приведенному выше со скалярным умножением
дано
Для двух таких ассоциативных унитальных K -алгебр A и B гомоморфизм унитальных K -алгебр f : A → B - это гомоморфизм колец, который коммутирует со скалярным умножением, определяемым η , которое можно записать как
для всех и . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:
Для алгебр над полем, билинейное умножение из A × A в A полностью определяется умножением базисных элементов А . И наоборот, как только базис для A выбран, произведения базисных элементов могут быть заданы произвольно, а затем расширены уникальным способом до билинейного оператора на A , т. Е. Полученное умножение удовлетворяет законам алгебры.
Таким образом, с учетом поля K любая конечномерная алгебра может быть определена с точностью до изоморфизма , задав ее размерность (скажем, n ) и указав n 3 структурных коэффициентов c i , j , k , которые являются скалярами . Эти структурные коэффициенты определяют умножение в A по следующему правилу:
где е 1 , ..., е п образуют базис A .
Обратите внимание, однако, что несколько различных наборов структурных коэффициентов могут привести к изоморфным алгебрам.
В математической физике структурные коэффициенты обычно записываются с верхним и нижним индексами, чтобы различать их свойства преобразования при преобразованиях координат. В частности, нижние индексы являются ковариантными индексами и преобразуются посредством откатов , в то время как верхние индексы являются контравариантными , трансформируясь при движении вперед . Таким образом, структурные коэффициенты часто записываются c i , j k , а их определяющее правило записывается с использованием обозначений Эйнштейна как
Если вы примените это к векторам, записанным в индексной нотации , тогда это станет
Если K только коммутативное кольцо , а не поле, а затем тот же процесс работает , если является свободным модулем над K . Если это не так, умножение по-прежнему полностью определяется его действием на множество, охватывающее A ; однако структурные константы не могут быть указаны произвольно в этом случае, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.
Двумерные, трехмерные и четырехмерные унитальные ассоциативные алгебры над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма Эдуардом Штуди . [4]
Таких двумерных алгебр существует две. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов, 1 (единичный элемент) и a . Согласно определению элемента идентичности,
Осталось уточнить
Таких трехмерных алгебр существует пять. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов, 1 (единичный элемент), a и b . Принимая во внимание определение элемента идентичности, достаточно указать
Четвертая из этих алгебр некоммутативна, а остальные коммутативны.
В некоторых областях математики, такие как коммутативная алгебра , обычно рассматривать более общее понятие алгебры над кольцом , где коммутативная унитальная кольцо R заменяет поле K . Единственная часть определения, которая изменяется, - это то, что A предполагается R -модулем (а не векторным пространством над K ).
Кольцо всегда ассоциативная алгебра над ее центром , а над целыми числами . Классическим примером алгебры над ее центром является алгебра расщепленных бикватернионов , которая изоморфна прямому произведению двух алгебр кватернионов . Центр этого кольца есть , и, следовательно, оно имеет структуру алгебры над своим центром, которая не является полем. Обратите внимание, что алгебра расщепленных бикватернионов также естественным образом является 8-мерной -алгеброй.
В коммутативной алгебре, если A - коммутативное кольцо , то любой гомоморфизм колец с единицей определяет структуру R -модуля на A , и это то, что известно как структура R- алгебры. [5] Таким образом, кольцо имеет естественную структуру -модуля, поскольку можно взять единственный гомоморфизм . [6] С другой стороны, не всем кольцам можно дать структуру алгебры над полем (например, целые числа). См. В разделе Поле с одним элементом описание попытки придать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем.