Аллегория (математика)

В математической области теории категорий , аллегория является категорией , которая имеет некоторые структуры категории Rel из множеств и бинарных отношений между ними. Аллегории можно использовать как абстракцию категорий отношений, и в этом смысле теория аллегорий является обобщением алгебры отношений на отношения между различными видами. Аллегории также полезны при определении и исследовании определенных конструкций в теории категорий, таких как точное пополнение.

В этой статье мы принимаем соглашение, согласно которому морфизмы составляются справа налево, поэтому RS означает «сначала сделай S , затем сделай R ».

Определение [ править ]

Аллегория - это категория, в которой

• каждый морфизм связан с антиинволюцией , т. е. с морфизмом с и и${\ Displaystyle R \ двоеточие от X \ до Y}$${\ Displaystyle R ^ {\ circ} \ двоеточие от Y \ до X}$${\ Displaystyle R ^ {\ circ \ circ} = R}$${\ displaystyle (RS) ^ {\ circ} = S ^ {\ circ} R ^ {\ circ} {\ text {;}}}$
• каждая пара морфизмов с общей областью / доменом связана с пересечением , т.е. морфизмом${\ displaystyle R, S \ двоеточие X \ to Y}$${\ Displaystyle R \ cap S \ двоеточие от X \ до Y}$

все такое, что

• пересечения идемпотентны : коммутативны : и ассоциативны :${\ Displaystyle R \ cap R = R,}$ ${\ Displaystyle R \ cap S = S \ cap R,}$${\ Displaystyle (R \ cap S) \ cap T = R \ cap (S \ cap T);}$
• антиинволюция распределяет на пересечении:${\ Displaystyle (R \ cap S) ^ {\ circ} = S ^ {\ circ} \ cap R ^ {\ circ};}$
• композиция полудистрибутивна на пересечении: а и${\ Displaystyle R (S \ cap T) \ substeq RS \ cap RT}$${\displaystyle (R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;}$
• выполняется закон модульности: ${\displaystyle RS\cap T\subseteq (R\cap TS^{\circ })S.}$

Здесь мы сокращаем, используя порядок, определяемый пересечением: означает${\displaystyle R\subseteq S}$${\displaystyle R=R\cap S.}$

Первый пример аллегории - категория множеств и отношений . Эти объекты этой аллегории являются множеством, а морфизм является бинарным отношением между X и Y . Композиция морфизмов - это композиция отношений , а антиинволюция - обратное отношение : тогда и только тогда, когда . Пересечение морфизмов - это (теоретико-множественное) пересечение отношений.${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\circ }}$${\displaystyle yR^{\circ }x}$${\displaystyle xRy}$

Обычные категории и аллегории [ править ]

Аллегории отношений в обычных категориях [ править ]

В категории С , А соотношение между объектами X и Y представляет собой интервал морфизмов , который совместно унитарный . Два таких пролеты и считаются эквивалентными , если существует изоморфизм между S и T , которые делают все , коммутируют; строго говоря, отношения определяются только с точностью до эквивалентности (это можно формализовать либо с помощью классов эквивалентности, либо с помощью бикатегорий ). Если в категории C есть товары, отношения между X и Y - то же самое, что и${\displaystyle X\gets R\to Y}$${\displaystyle X\gets S\to Y}$${\displaystyle X\gets T\to Y}$мономорфизм в X × Y (или его класс эквивалентности). При наличии откатов и правильной системы факторизации можно определить состав отношений. Композицию можно найти, сначала оттянув коспан, а затем взяв совместно-моническое изображение полученного промежутка.${\displaystyle X\gets R\to Y\gets S\to Z}$${\displaystyle R\to Y\gets S}$${\displaystyle X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.}$

Композиция отношений будет ассоциативной, если факторизационная система должным образом устойчива. В этом случае можно рассматривать категорию Rel ( C ) с теми же объектами, что и C , но где морфизмы - это отношения между объектами. Отношения идентичности - это диагонали${\displaystyle X\to X\times X.}$

Регулярная категория (категория с конечными пределами и изображениями , в котором крышки являются стабильными при откате) имеет стабильную регулярный EPI / моно факторизационные системы. Категория отношений для обычной категории всегда является аллегорией. Антиинволюция определяется поворотом источника / цели отношения, а пересечения - это пересечения подобъектов , вычисляемые путем отката.

Карты в аллегориях и таблицах [ править ]

Морфизм R в аллегории A называется отображением, если он является целым и детерминированным. Другой способ сказать это - то, что отображение является морфизмом, который имеет правый сопряженный в A, когда A рассматривается, используя структуру локального порядка, как 2 -категория . Карты в аллегории закрыты по идентичности и композиции. Таким образом, существует подкатегория Map ( A ) категории A с такими же объектами, но только карты как морфизмы. Для регулярной категории C существует изоморфизм категорий. В частности, морфизм в${\displaystyle (1\subseteq R^{\circ }R)}$${\displaystyle (RR^{\circ }\subseteq 1).}$ ${\displaystyle C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).}$Map (Rel ( Set )) - это обычная функция набора .

В аллегории, морфизм является табличной парой карт и если и Аллегория называется табличной , если каждый морфизм имеет суммирование. Для обычной категории C аллегория Rel ( C ) всегда таблична. С другой стороны, для любой табличной аллегории A категория Map ( A ) карт является локально регулярной категорией: у нее есть откаты, эквалайзеры и изображения, которые устойчивы при откате. Этого достаточно, чтобы изучить отношения на карте ( A ) , и в этом случае${\displaystyle R\colon X\to Y}$${\displaystyle f\colon Z\to X}$${\displaystyle g\colon Z\to Y}$${\displaystyle gf^{\circ }=R}$${\displaystyle f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.}$${\displaystyle A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).}$

Единичные аллегории и обычные категории карт [ править ]

Блок в аллегории является объект U , для которого идентичность является самым большим морфизма и таким , что от любого другого объекта, существует целая отношение к U . Аллегория с единицей называется унитальной . Учитывая табличную аллегорию A , категория Map ( A ) является обычной категорией (у нее есть конечный объект ) тогда и только тогда, когда A унитален.${\displaystyle U\to U,}$

Более сложные виды аллегории [ править ]

Дополнительные свойства аллегорий можно аксиоматизировать. В распределительных аллегориях есть операция, подобная объединению, которая хорошо себя ведет, а аллегории деления являются обобщением операции деления алгебры отношений . Аллегории власти - это аллегории распределительного разделения с дополнительной структурой типа powerset . Связь между аллегориями и обычными категориями может быть преобразована в связь между аллегориями власти и топосами .

Ссылки [ править ]

• Питер Фрейд , Андре Щедров (1990). Категории, Аллегории . Математическая библиотека Том 39. Северная Голландия . ISBN 978-0-444-70368-2.

• Питер Джонстон (2003). Эскизы слона: Сборник теории топоса . Оксфордские научные публикации. ОУП . ISBN 0-19-852496-X.