Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В физике , угловой момент (редко, момент импульса или вращательного момента ) является эквивалентом вращения линейного импульса . Это важная величина в физике, потому что это постоянная величина - полный угловой момент замкнутой системы остается постоянным.

В трех измерениях , угловой момент для точечной частицы является псевдовектор г × р , то векторное произведение частицы в положение вектора г (относительно некоторого происхождения) и ее вектор импульса ; последнее - это p = m v в механике Ньютона. Это определение может быть применено к каждой точке континуумов как твердые вещества или жидкости, или физическим полей . В отличие от импульса, угловой момент зависит от того, где выбрана точка отсчета, поскольку положение частицы отсчитывается от нее.

Как и для угловой скорости , существует два особых типа углового момента: спиновый угловой момент и орбитальный угловой момент. Спиновый угловой момент объекта определяется как угловой момент относительно его координаты центра масс . Орбитальный угловой момент объекта относительно выбранного начала координат определяется как момент количества движения центра масс относительно начала координат. Полный угловой момент объекта складывается из спинового и орбитального угловых моментов. Вектор орбитального углового момента точечной частицы всегда параллелен и прямо пропорционален вектору орбитальной угловой скорости ωчастицы, где коэффициент пропорциональности зависит как от массы частицы, так и от ее расстояния от начала координат. Вектор спинового углового момента твердого тела пропорционален, но не всегда параллелен вектору угловой скорости вращения Ω , что делает константу пропорциональности тензором второго ранга, а не скаляром.

Угловой момент - огромная величина; т. е. полный угловой момент любой составной системы является суммой угловых моментов ее составных частей. Для сплошного твердого тела полный угловой момент представляет собой объемный интеграл от плотности углового момента (т.е. момента количества движения на единицу объема в пределе, когда объем сжимается до нуля) по всему телу.

Крутящий момент можно определить как скорость изменения углового момента, аналогичную силе . Чистый внешний крутящий момент в любой системе всегда равен общему крутящему моменту в системе; другими словами, сумма всех внутренних моментов любой системы всегда равна 0 (это вращательный аналог Третьего закона Ньютона ). Следовательно, для закрытой системы (где нет чистого внешнего крутящего момента) общий крутящий момент в системе должен быть 0, что означает, что общий угловой момент системы постоянен. Сохранение углового момента помогает объяснить многие наблюдаемые явления, например увеличение скорости вращения вращающегося фигуриста.в качестве оружия фигуриста сжимается, высокие вращательные скорости нейтронных звезд , тем эффект Кориолиса , и прецессия из гироскопов . В общем, сохранение ограничивает возможное движение системы, но не определяет однозначно, каково точное движение.

В квантовой механике угловой момент (как и другие величины) выражается как оператор , а его одномерные проекции имеют квантованные собственные значения . Угловой момент подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , подразумевающему, что в любое время только одна проекция (также называемая «составляющей») может быть измерена с определенной точностью; остальные два остаются неуверенными. Из-за этого понятия квантовой частицы, буквально «вращающейся» вокруг оси, не существует. Квантовые частицы действительно обладают неорбитальным угловым моментом, называемым «спином», но этот угловой момент не соответствует реальному физическому вращательному движению. [1]

Определение в классической механике [ править ]

Орбитальный угловой момент в двух измерениях [ править ]

Скорость из частиц т относительно начала координат O могут быть разделены на компоненты , параллельные ( v ) и перпендикулярно ( об ) радиус - вектор г . Угловой момент из м пропорционален перпендикулярной компонента V скорости, или , что эквивалентно, в перпендикулярное расстоянии г от начала координат.

Угловой момент - это векторная величина (точнее, псевдовектор ), которая представляет собой произведение инерции вращения тела и скорости вращения (в радианах / сек) вокруг определенной оси. Однако если траектория частицы лежит в одной плоскости , достаточно отбросить векторную природу углового момента и рассматривать его как скаляр (точнее, псевдоскаляр ). [2] Угловой момент можно считать вращательным аналогом количества движения . Таким образом, где импульс p пропорционален массе m илинейная скорость v ,

п знак равно м v , {\ displaystyle p = mv,}

угловой момент L пропорционален моменту инерции I и угловой скорости ω, измеряемой в радианах в секунду. [3]

L знак равно я ω . {\ displaystyle L = I \ omega.}

В отличие от массы, которая зависит только от количества вещества, момент инерции также зависит от положения оси вращения и формы материи. В отличие от линейной скорости, которая не зависит от выбора начала координат, орбитальная угловая скорость всегда измеряется относительно фиксированного начала координат. Следовательно, строго говоря, L следует называть угловым моментом относительно этого центра . [4]

Поскольку для отдельной частицы и для кругового движения угловой момент может быть расширен и уменьшен до

произведение радиуса вращения r и количества движения частицы , где v в данном случае - эквивалентная линейная (тангенциальная) скорость на радиусе ( ).

Этот простой анализ также может применяться к некруглому движению , если только компонент движения , который является перпендикулярным к радиусу - вектору рассматривается. В таком случае,

где - перпендикулярная составляющая движения. Расширяя, переставляя и уменьшая угловой момент, можно также выразить:

где - длина плеча момента , линии, падающей перпендикулярно от начала координат на путь частицы. Это определение (длина плеча момента) × (линейный импульс), к которому относится термин момент количества движения . [5]

Скаляр - угловой момент из лагранжевой механики [ править ]

Другой подход - определить угловой момент как сопряженный импульс (также называемый каноническим моментом ) угловой координаты, выраженный в лагранжиане механической системы. Рассмотрим механическую систему с массой, вынужденной двигаться по кругу радиуса в отсутствие какого-либо внешнего силового поля. Кинетическая энергия системы равна

Т знак равно 1 2 м а 2 ω 2 знак равно 1 2 м а 2 ϕ ˙ 2 . {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ma ^ {2} \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} ma ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2}.}

А потенциальная энергия равна

Тогда лагранжиан равен

Обобщенный импульс «канонически сопряженный» координата определяется

Орбитальный угловой момент в трех измерениях [ править ]

Связь между векторами силы ( F ), крутящего момента ( τ ), импульса ( p ) и момента количества движения ( L ) во вращающейся системе. r - вектор положения .

Чтобы полностью определить орбитальный угловой момент в трех измерениях , необходимо знать скорость, с которой вектор положения выметает угол, направление, перпендикулярное мгновенной плоскости углового смещения, и задействованную массу , а также то, как эта масса распределяется. в космосе. [6] Сохраняя векторную природу углового момента, общая природа уравнений также сохраняется и может описывать любое трехмерное движение вокруг центра вращения - круговое , линейное или иное. В векторных обозначениях орбитальный угловой момент точечной частицы движение относительно начала координат может быть выражено как:

куда

это момент инерции для точечной массы ,
ω знак равно р × v р 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}} - орбитальная угловая скорость в радианах / сек (единицах 1 / сек) частицы относительно начала координат,
это вектор положения частицы относительно начала координат, ,
- линейная скорость частицы относительно начала координат, а
- масса частицы.

Его можно расширить, уменьшить и по правилам векторной алгебры переставить:

который является перекрестным произведением вектора положения и импульса частицы. По определению векторного произведения вектор перпендикулярен обоим и . Он направлен перпендикулярно плоскости углового смещения, как показано правилом правой руки, так что угловая скорость рассматривается как против часовой стрелки от головы вектора. И наоборот, вектор определяет плоскость, в которой и лежат.

Путем определения единичного вектора, перпендикулярного плоскости углового смещения, получается скалярная угловая скорость , где

и
где - перпендикулярная составляющая движения, как указано выше.

Таким образом, двумерным скалярным уравнениям из предыдущего раздела можно задать направление:

и для кругового движения, когда все движение перпендикулярно радиусу .

В сферической системе координат вектор момента импульса выражается как

Аналогия с линейным импульсом [ править ]

Угловой момент можно описать как вращательный аналог количества движения . Как и в линейном импульсе, он включает в себя элементы массы и смещения . В отличие от количества движения, он также включает в себя элементы положения и формы .

Многие проблемы в физике связаны с движением материи вокруг некоторой определенной точки в пространстве, будь то фактическое вращение вокруг нее или просто движение мимо нее, где требуется знать, какое влияние движущееся вещество оказывает на точку - может ли оно оказывать энергию на эту точку. это или выполнить работу по этому поводу? Энергия , способность совершать работу , может храниться в материи, приводя ее в движение - комбинацию ее инерции и смещения. Инерция измеряется его массой , а перемещение - его скоростью . Их продукт,

это импульс дела . [7] Отнесение этого импульса к центральной точке приводит к осложнению: импульс не применяется к точке напрямую. Например, частица материи на внешнем крае колеса, по сути, находится на конце рычага той же длины, что и радиус колеса, ее импульс вращает рычаг вокруг центральной точки. Этот воображаемый рычаг известен как плечо момента . Он имеет эффект умножения усилия импульса пропорционально его длине, эффект, известный как момент . Следовательно, импульс частицы относится к определенной точке,

- угловой момент , который иногда называют, как здесь, моментом количества движения частицы относительно этой конкретной центральной точки. Уравнение объединяет момент ( плечо крутящего момента массы ) с линейной (эквивалент прямой) скоростью . Линейная скорость относительно центральной точки - это просто произведение расстояния и угловой скорости относительно точки: еще один момент. Следовательно, угловой момент содержит двойной момент: немного упрощая, величина - это момент инерции частицы , иногда называемый вторым моментом массы. Это мера инерции вращения. [8]

Момент инерции (показан здесь) и, следовательно, угловой момент, различен для каждой возможной конфигурации массы и оси вращения .

Поскольку момент инерции является важной частью спинового углового момента, последний обязательно включает в себя все сложности первого, который рассчитывается путем умножения элементарных битов массы на квадраты их расстояний от центра вращения. [9] Следовательно, общий момент инерции и угловой момент являются сложной функцией конфигурации вещества относительно центра вращения и ориентации вращения для различных битов.

Для твердого тела , например колеса или астероида, ориентация вращения - это просто положение оси вращения относительно материи тела. Он может проходить или не проходить через центр масс , или он может находиться полностью вне тела. Для одного и того же тела угловой момент может принимать разные значения для каждой возможной оси, вокруг которой может происходить вращение. [10] Он достигает минимума, когда ось проходит через центр масс. [11]

Для набора объектов, вращающихся вокруг центра, например, всех тел Солнечной системы , ориентации могут быть в некоторой степени организованы, как и в Солнечной системе, при этом оси большинства тел лежат близко к оси системы. Их ориентация также может быть совершенно случайной.

Короче говоря, чем больше масса и чем дальше он от центра вращения (чем длиннее плечо момента ), тем больше момент инерции и, следовательно, больше угловой момент для данной угловой скорости . Во многих случаях момент инерции и, следовательно, угловой момент можно упростить следующим образом: [12]

I = k 2 m , {\displaystyle I=k^{2}m,}
где - радиус вращения , расстояние от оси, на котором вся масса может считаться сосредоточенной.

Аналогичным образом , для точечной массы момент инерции определяется как,

где - радиус точечной массы от центра вращения,

и для любого набора частиц в виде суммы

Зависимость углового момента от положения и формы отражается в единицах измерения в зависимости от количества движения: кг⋅м 2 / с, Н⋅мс или Джс для углового момента по сравнению с кг⋅м / с или Н⋅с для линейного момента. При вычислении углового момента как произведения момента инерции на угловую скорость, угловая скорость должна быть выражена в радианах в секунду, где радиан принимает безразмерное значение, равное единице. (При выполнении размерного анализа может быть продуктивным использование ориентационного анализа, который рассматривает радианы как базовую единицу, но это выходит за рамки Международной системы единиц ). Единицы углового момента можно интерпретировать как крутящий моментВремя или как энергия⋅ время на угол. Объект с угловым моментом L N⋅m⋅s может быть уменьшен до нулевого вращения (все вращательной энергии могут быть переданы из него) посредством углового импульса из L N⋅m⋅s [13] или , что эквивалентно, с крутящим моментом или работа L Н⋅м за одну секунду, или энергия L Дж за одну секунду. [14]

Плоскость , перпендикулярная к оси углового момента и проходящим через центр масс [15] иногда называют неизменной плоскостью , так как направление оси остается фиксированной , если только взаимодействие тел в системе, свободной от внешних воздействий, считаются. [16] Один из таких планов - неизменный план Солнечной системы .

Угловой момент и крутящий момент [ править ]

Второй закон движения Ньютона можно выразить математически:

или сила = масса × ускорение . Эквивалент вращения для точечных частиц может быть получен следующим образом:

что означает, что крутящий момент (т. е. производная по времени от углового момента) равен

τ = d I d t ω + I d ω d t . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}

Поскольку момент инерции равен , отсюда следует, что , и которое, сводится к

Это вращательный аналог Второго закона Ньютона. Обратите внимание, что крутящий момент не обязательно пропорционален или параллелен угловому ускорению (как можно было бы ожидать). Причина в том, что момент инерции частицы может изменяться со временем, чего не может произойти для обычной массы.

Сохранение углового момента [ править ]

Фигуристка в спине использует сохранение углового момента - уменьшение ее момент инерции , опираясь на руках и ноги увеличиваются ее скорость вращения .

Общие соображения [ править ]

Вращательный аналог третьего закона движения Ньютона можно было бы записать: «В замкнутой системе никакой крутящий момент не может быть приложен к какой-либо материи без приложения к какой-либо другой материи равного и противоположного крутящего момента». [17] Следовательно, угловым моментом можно обмениваться между объектами в замкнутой системе, но полный угловой момент до и после обмена остается постоянным (сохраняется). [18]

С другой стороны, вращательный аналог первого закона движения Ньютона можно было бы записать: «Твердое тело продолжает находиться в состоянии равномерного вращения, если на него не действует внешнее воздействие». [17] Таким образом, без какого-либо внешнего воздействия на него исходный угловой момент системы остается постоянным . [19]

Сохранение углового момента используется при анализе движения центральной силы . Если результирующая сила, действующая на какое-то тело, всегда направлена ​​к некоторой точке, то есть к центру , тогда на теле нет крутящего момента по отношению к центру, поскольку вся сила направлена ​​вдоль радиус-вектора , и никакая сила не перпендикулярна радиусу . Математически крутящий момент, потому что в этом случае и являются параллельными векторами. Следовательно, угловой момент тела относительно центра постоянен. Это случай с притяжением на орбитах с планет и спутников, где гравитационная сила всегда направлена ​​на первичное тело, а вращающиеся тела сохраняют угловой момент, меняя расстояние и скорость при движении вокруг первичного тела. Движение центральной силы также используется в анализе модели Бора из атома .

Для планеты угловой момент распределяется между вращением планеты и ее вращением по орбите, и они часто обмениваются различными механизмами. Сохранение углового момента в системе Земля – Луна приводит к передаче углового момента от Земли к Луне из-за приливного момента, который Луна оказывает на Землю. Это, в свою очередь, приводит к замедлению скорости вращения Земли примерно на 65,7 наносекунд в день [20] и постепенному увеличению радиуса орбиты Луны примерно на 3,82 сантиметра в год. [21]

Крутящий момент , вызванный эти два противоположных сил F г и - Р г вызывает изменение углового момента L в направлении , что крутящий момент (вращающий момент , поскольку производная по времени от момента импульса). Это приводит к тому , верх к прецессировать .

Сохранение углового момента объясняет угловое ускорение фигуристки, когда она приближает руки и ноги к вертикальной оси вращения. Приближая часть массы своего тела к оси, она уменьшает момент инерции своего тела. Поскольку угловой момент является произведением момента инерции и угловой скорости , если угловой момент остается постоянным (сохраняется), то угловая скорость (скорость вращения) фигуриста должна увеличиваться.

То же явление приводит к чрезвычайно быстрому вращению компактных звезд (таких как белые карлики , нейтронные звезды и черные дыры ), когда они формируются из гораздо более крупных и медленно вращающихся звезд. Уменьшение размера объекта в n раз приводит к увеличению его угловой скорости в n 2 раз .

Сохранение не всегда является полным объяснением динамики системы, но является ключевым ограничением. Например, на вращающийся волчок действует гравитационный момент, заставляющий его наклоняться и изменять угловой момент вокруг оси нутации , но, если пренебречь трением в точке вращающегося контакта, он имеет сохраняющийся угловой момент вокруг своей оси вращения, а другой - вокруг оси вращения. ось прецессии . Кроме того, в любой планетной системе планеты, звезды, кометы и астероиды могут двигаться множеством сложных способов, но только так, чтобы угловой момент системы сохранялся.

Теорема Нётер утверждает, что каждый закон сохранения связан с симметрией (инвариантом) основной физики. Симметрия, связанная с сохранением углового момента, - это инвариантность вращения . Тот факт, что физика системы не меняется, если она повернута на любой угол вокруг оси, означает, что угловой момент сохраняется. [22]

Связь со вторым законом движения Ньютона [ править ]

Хотя полное сохранение углового момента можно понимать отдельно от законов движения Ньютона как вытекающих из теоремы Нётер в системах, симметричных относительно вращений, его также можно понимать просто как эффективный метод вычисления результатов, которые также могут быть получены непосредственно из секунды Ньютона. закон вместе с законами, управляющими силами природы (такими как третий закон Ньютона, уравнения Максвелла и сила Лоренца ). Действительно, учитывая начальные условия положения и скорости для каждой точки, а также силы в таких условиях, можно использовать второй закон Ньютона для вычисления второй производной положения, и решение для этого дает полную информацию о развитии физической системы с время.[23] Обратите внимание, однако, что это больше не верно в квантовой механике из-за существования спина частицы , который представляет собой угловой момент, который не может быть описан кумулятивным эффектом точечных движений в пространстве.

В качестве примера рассмотрим уменьшение момента инерции , например, когда фигурист тянет в своих руках, ускоряя круговое движение. С точки зрения сохранения углового момента, для углового момента L , момента инерции I и угловой скорости ω имеем :

Используя это, мы видим, что изменение требует энергии:

так что уменьшение момента инерции требует вложения энергии.

Это можно сравнить с проделанной работой, рассчитанной с использованием законов Ньютона. Каждая точка вращающегося тела ускоряется в каждый момент времени с радиальным ускорением:

Давайте рассмотрим точку массы m , вектор положения которой относительно центра движения параллелен оси z в данный момент времени и находится на расстоянии z . Центростремительная сила на этой точке, сохраняя круговые движения, является:

Таким образом, работа, необходимая для перемещения этой точки на расстояние dz дальше от центра движения, равна:

Для неточечного тела нужно интегрировать по этому, с заменой m на плотность массы на единицу z . Это дает:

что и есть энергия, необходимая для сохранения углового момента.

Обратите внимание, что приведенный выше расчет также может быть выполнен для массы, используя только кинематику . Таким образом, феномен фигуриста, ускоряющего тангенциальную скорость, когда он втягивает руки внутрь, можно понять на языке непрофессионала следующим образом: ладони фигуриста не движутся по прямой линии, поэтому они постоянно ускоряются внутрь, но не набирают дополнительную скорость потому что ускорение всегда происходит, когда их движение внутрь равно нулю. Однако при приближении ладоней к телу все по-другому: ускорение, вызванное вращением, теперь увеличивает скорость; но из-за вращения увеличение скорости не приводит к значительной скорости внутрь, а к увеличению скорости вращения.

В лагранжевом формализме [ править ]

В лагранжевых механике , угловой момент вращения вокруг заданной оси, является сопряженным импульсом из обобщенной координаты угла вокруг той же самой оси. Например, угловой момент вокруг оси z равен:

где - лагранжиан, - угол вокруг оси z.

Обратите внимание , что производная угла по времени - это угловая скорость . Обычно лагранжиан зависит от угловой скорости через кинетическую энергию: последнюю можно записать, разделив скорость на ее радиальную и тангенциальную части, при этом касательная часть в плоскости xy вокруг оси z равна:

где индекс i обозначает i-е тело, а m , v T и ω z обозначают массу, тангенциальную скорость вокруг оси z и угловую скорость вокруг этой оси соответственно.

Для тела, не являющегося точечным, с плотностью ρ вместо этого имеем:

где I z - момент инерции вокруг оси z.

Таким образом, если предположить, что потенциальная энергия не зависит от ω z (это предположение может быть неверным для электромагнитных систем), мы имеем угловой момент i-го объекта:

До сих пор мы повернули каждый объект на отдельный угол; мы также можем определить общий угол θ z, на который мы поворачиваем всю систему, таким образом вращая также каждый объект вокруг оси z, и получаем общий угловой момент:

Из уравнений Эйлера-Лагранжа тогда следует , что:

Поскольку лагранжиан зависит от углов объекта только через потенциал, мы имеем:

который является крутящим моментом на i-м объекте.

Предположим, что система инвариантна к поворотам, так что потенциал не зависит от общего поворота на угол θ z (таким образом, он может зависеть от углов объектов только через их различия в форме ). Таким образом, для полного углового момента получаем:

Таким образом, угловой момент вокруг оси z сохраняется.

Этот анализ может быть повторен отдельно для каждой оси, давая представление о векторе углового момента. Однако углы вокруг трех осей нельзя рассматривать одновременно как обобщенные координаты, поскольку они не являются независимыми; в частности, двух углов на точку достаточно, чтобы определить ее положение. Хотя верно, что в случае твердого тела, его полное описание требует, помимо трех поступательных степеней свободы, еще и трех степеней свободы вращения; однако они не могут быть определены как вращения вокруг декартовых осей (см. углы Эйлера ). Это предостережение отражено в квантовой механике в нетривиальных коммутационных соотношениях различных компонентовоператор углового момента .

В гамильтоновом формализме [ править ]

Точно так же в гамильтоновой механике гамильтониан можно описать как функцию углового момента. Как и раньше, часть кинетической энергии, связанная с вращением вокруг оси z для i-го объекта, равна:

которая аналогична зависимости энергии при импульсе вдоль оси г, .

Уравнения Гамильтона связывают угол вокруг оси z с его сопряженным импульсом, угловым моментом вокруг той же оси:

Первое уравнение дает

Таким образом, мы получаем те же результаты, что и в лагранжевом формализме.

Обратите внимание, что для объединения всех осей мы записываем кинетическую энергию как:

где p r - импульс в радиальном направлении, а момент инерции - трехмерная матрица ; жирные буквы обозначают трехмерные векторы.

Для точечных тел имеем:

Эта форма кинетической энергетической части гамильтониана полезна при анализе центральных потенциальных проблем и легко трансформируется в квантово-механическую рабочую систему (например, в проблеме атома водорода ).

Угловой момент в орбитальной механике [ править ]

Хотя в классической механике язык углового момента может быть заменен законами движения Ньютона, он особенно полезен для движения с центральным потенциалом, такого как движение планет в солнечной системе. Таким образом, орбита планеты в солнечной системе определяется ее энергией, угловым моментом и углами большой оси орбиты относительно системы координат.

В астродинамике и небесной механике определяется безмассовый (или отнесенный к единице массы ) момент количества движения [24]

называется удельным угловым моментом . Обратите внимание, что масса часто не важна в расчетах орбитальной механики, потому что движение определяется гравитацией . Первичное тело системы часто настолько больше, чем любые движущиеся вокруг него тела, что меньшие тела оказывают на него незначительное гравитационное воздействие; это, по сути, стационарное. Все тела, очевидно, одинаково притягиваются его гравитацией, независимо от массы, и поэтому все движутся примерно одинаково в одинаковых условиях.

Твердые тела [ править ]

Угловой момент также является чрезвычайно полезным понятием для описания вращающихся твердых тел, таких как гироскоп или каменистая планета. Для непрерывного распределения массы с функцией плотности ρ ( r ) дифференциальный элемент объема dV с вектором положения r внутри массы имеет элемент массы dm = ρ ( r ) dV . Следовательно, бесконечно малый угловой момент этого элемента равен:

и интегрирование этой разницы по объему всей массы дает ее полный угловой момент:

В следующем выводе интегралы, подобные этому, могут заменять суммы для случая непрерывной массы.

Сбор частиц [ править ]

Угловой момент частиц i является суммой перекрестных произведений R × M V + Σ r i × m i v i .

Для набора частиц, движущихся относительно произвольной точки начала координат, полезно разработать уравнение момента количества движения, разделив их движение на компоненты относительно их собственного центра масс и относительно начала координат. Данный,

- масса частицы ,
- вектор положения частицы относительно начала координат,
- скорость частицы относительно начала координат,
- вектор положения центра масс относительно начала координат,
- скорость центра масс относительно начала координат,
- вектор положения частицы относительно центра масс,
- скорость частицы относительно центра масс,

Полная масса частиц - это просто их сумма,

Вектор положения центра масс определяется как, [25]

По осмотру,

и

Полный угловой момент совокупности частиц - это сумма углового момента каждой частицы,

    ( 1 )

Расширение ,

Расширение ,

Можно показать, что (см. Врезку),

и

поэтому второй и третий члены исчезают,

Первый член можно переставить,

и полный угловой момент для сбора частиц, наконец, [26]

    ( 2 )

Первый член - это угловой момент центра масс относительно начала координат. По аналогии с одной частицы , ниже, это угловой момент одной частицы массы M в центре массы , движущейся со скоростью V . Второй член - это угловой момент частиц, движущихся относительно центра масс, аналогично фиксированному центру масс ниже. Результат является общим: движение частиц не ограничивается вращением или вращением вокруг начала координат или центра масс. Частицы не обязательно должны быть индивидуальной массы, но могут быть элементами непрерывного распределения, такими как твердое тело.

Преобразуя уравнение ( 2 ) с помощью векторных тождеств, умножая оба члена на «один» и группируя соответствующим образом,

дает полный угловой момент системы частиц через момент инерции и угловую скорость ,

    ( 3 )

Случай одиночной частицы [ править ]

В случае одиночной частицы, движущейся вокруг произвольного начала координат,

а уравнения ( 2 ) и ( 3 ) для полного углового момента сводятся к

Случай фиксированного центра масс [ править ]

Для случая центра масс, фиксированного в пространстве относительно начала координат,

а уравнения ( 2 ) и ( 3 ) для полного углового момента сводятся к

Угловой момент в общей теории относительности [ править ]

3-угловой момент как бивектор (плоский элемент) и аксиальный вектор частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p .

В современной теоретической физике (20-й век) угловой момент (без учета собственного углового момента - см. Ниже ) описывается с использованием другого формализма, а не классического псевдовектора . В этом формализме угловой момент - это 2- формный заряд Нётер, связанный с вращательной инвариантностью. В результате угловой момент не сохраняется для общих искривленных пространств-времени , если только он не асимптотически инвариантен относительно вращения. [ необходима цитата ]

В классической механике угловой момент частицы можно интерпретировать как элемент плоскости:

в котором внешний продукт ∧ заменяет перекрестное произведение × (эти продукты имеют схожие характеристики, но не эквивалентны). Это имеет преимущество более четкой геометрической интерпретации как плоского элемента, определенного из векторов x и p , и выражение истинно в любом количестве измерений (два или больше). В декартовых координатах:

или более компактно в индексной записи:

Угловая скорость также может быть определена как антисимметричный тензор второго порядка с компонентами ω ij . Связь между двумя антисимметричными тензорами задается моментом инерции, который теперь должен быть тензором четвертого порядка: [27]

Опять же, это уравнение в L и ω как тензорах верно в любом количестве измерений. Это уравнение также появляется в формализме геометрической алгебры , в котором L и ω - бивекторы, а момент инерции - отображение между ними.

В релятивистской механике , то релятивистская угловой момент частицы выражается в виде антисимметричного тензора второго порядка:

на языке четырех векторов , а именно четырех положений X и четырех импульсов P , и поглощает указанное выше L вместе с движением центра масс частицы.

В каждом из вышеперечисленных случаев для системы частиц полный угловой момент является просто суммой угловых моментов отдельных частиц, а центр масс относится к системе.

Угловой момент в квантовой механике [ править ]

Угловой момент в квантовой механике во многих отношениях отличается от углового момента в классической механике . В релятивистской квантовой механике он отличается еще больше, в котором приведенное выше релятивистское определение становится тензорным оператором.

Спиновый, орбитальный и полный угловой момент [ править ]

Угловые моменты классического объекта.
  • Слева: «спиновой» угловой момент S на самом деле орбитальный угловой момент объекта в каждой точке.
  • Справа: внешний орбитальный угловой момент L относительно оси.
  • Вверху: момент инерции тензора I и угловой скоростью со ( л не всегда параллельно со ). [28]
  • Внизу: импульс p и его радиальное положение r от оси. Полный угловой момент (спин плюс орбиталь) равен Дж . Для квантовой частицы интерпретации разные; спин частицы вовсе не имеет вышеприведенное толкование.

Классическое определение углового момента может быть перенесено в квантовую механику, если переинтерпретировать r как квантовый оператор положения, а p как квантовый оператор импульса . Тогда L является оператором , в частности оператором орбитального углового момента . Компоненты оператора углового момента удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли so (3). В самом деле, эти операторы являются в точности бесконечно малым действием группы вращений на квантовом гильбертовом пространстве. [29] (См. Также обсуждение ниже операторов углового момента как генераторов вращения.)

Тем не менее, в квантовой физике, существует другой тип углового момента, называемый спиновый момент , представленный оператором спина S . Почти все элементарные частицы имеют ненулевой спин. [30] Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это вводящая в заблуждение и неточная картина: спин - это внутреннее свойство частицы, не связанное ни с каким движением в пространстве и фундаментально отличное от орбитального углового момента. Все элементарные частицы имеют характерный спин (возможно , ноль), [31] Например электроны имеют «спина 1/2» (это фактически означает «спина ħ / 2»), фотоныимеют «спин 1» (на самом деле это означает «спин ħ»), а пи-мезоны имеют спин 0. [32]

Наконец, есть полный угловой момент J , который объединяет как спин, так и орбитальный угловой момент всех частиц и полей. (Для одной частицы J = L + S. ) Сохранение углового момента применяется к J , но не к L или S ; например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться назад и вперед между L и S , при этом общая оставшаяся величина остается постоянной. Электроны и фотоны не обязательно должны иметь целочисленные значения полного углового момента, но также могут иметь дробные значения. [33]

В молекулах полный момент Р является суммой ровибронных (орбитального углового момента) N , электронного спинового момента импульса S и ядерного спинового момента I . Для электронных синглетных состояний ровибронного угловой момент обозначается J , а не N . Как пояснил Ван Флек [34], компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к осям, закрепленным за молекулами, имеют разные коммутационные соотношения, чем компоненты относительно осей, закрепленных в пространстве.

Квантование [ править ]

В квантовой механике угловой момент квантован, то есть он не может изменяться непрерывно, а только « квантовыми скачками » между определенными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где - приведенная постоянная Планка, а - любой евклидов вектор, такой как x, y или z:

В этой стоячей волне на круглой струне круг разбит ровно на 8 длин волн . Такая стоячая волна может иметь 0,1,2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн вроде 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

(Также существуют дополнительные ограничения, подробнее см. Оператор углового момента .)

Приведенная постоянная Планка крошечная по обычным меркам, около 10 -34 Дж с , и поэтому это квантование не оказывает заметного влияния на угловой момент макроскопических объектов. Однако в микроскопическом мире это очень важно. Например, на структуру электронных оболочек и подоболочек в химии существенно влияет квантование углового момента.

Квантование углового момента было впервые постулировано Нильсом Бором в его модели атома Бора, а позже предсказано Эрвином Шредингером в его уравнении Шредингера .

Неопределенность [ править ]

В определении , шесть операторов участвуют: операторы позиции , , , и операторы импульса , , . Однако принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам о том, что невозможно узнать все шесть этих величин одновременно с произвольной точностью. Следовательно, существуют пределы того, что можно узнать или измерить об угловом моменте частицы. Оказывается, лучшее, что можно сделать, - это одновременно измерить как величину вектора углового момента, так и его составляющую вдоль одной оси.

Неопределенность тесно связано с тем , что различные компоненты с оператора углового момента не коммутируют , например . (Точные соотношения коммутации см. В Операторе углового момента .)

Полный угловой момент как генератор вращения [ править ]

Как упоминалось выше, орбитальный угловой момент L определяется как в классической механике:, но полный угловой момент J определяется другим, более простым способом: J определяется как «генератор вращений». [35] Более конкретно, J определяется так, что оператор

это оператор вращения, который берет любую систему и поворачивает ее на угол вокруг оси . («Exp» в формуле относится к операторной экспоненте. ) Иными словами, каким бы ни было наше квантовое гильбертово пространство, мы ожидаем, что группа вращения SO (3) будет действовать на него. Тогда существует ассоциированное действие алгебры Ли so (3) группы SO (3); операторы, описывающие действие so (3) в нашем гильбертовом пространстве, являются операторами (полного) углового момента.

Связь между оператором углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике. Тесная связь между угловым моментом и вращениями отражена в теореме Нётер, которая доказывает, что угловой момент сохраняется всякий раз, когда законы физики инвариантны относительно вращения.

Угловой момент в электродинамике [ править ]

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле , то канонический импульс Р (получен из лагранжиан для этой системы) не манометрическое инвариантно . Как следствие, канонический угловой момент L = r × P также не является калибровочно-инвариантным. Вместо этого физический импульс, так называемый кинетический импульс (используемый в этой статье), равен (в единицах СИ )

где e - электрический заряд частицы, A - вектор магнитного потенциала электромагнитного поля. Манометрический-инвариантный угловой момент, то есть кинетический угловой момент , задаются

Взаимодействие с квантовой механикой обсуждается далее в статье о канонических коммутационных соотношениях .

Угловой момент в оптике [ править ]

В классической электродинамике Максвелла вектор Пойнтинга представляет собой линейная плотность импульса электромагнитного поля. [36]

Вектор плотности углового момента задается векторным произведением, как в классической механике: [37]

Вышеупомянутые тождества действительны локально , то есть в каждой точке пространства в данный момент .

История [ править ]

Ньютон в « Началах» намекал на угловой момент в своих примерах Первого закона движения :

Вершина, части которой своим сцеплением постоянно отводятся в сторону от прямолинейных движений, не прекращает своего вращения, кроме как когда она задерживается воздухом. Более крупные тела планет и комет, встречая меньшее сопротивление в более свободных пространствах, сохраняют свои движения как поступательные, так и круговые в течение гораздо более длительного времени. [38]

Он не исследовал угловой момент непосредственно в Началах ,

Из такого рода отражений также иногда возникают круговые движения тел вокруг их собственных центров. Но это случаи, которые я не рассматриваю в дальнейшем; и было бы слишком утомительно демонстрировать все детали, относящиеся к этому предмету. [39]

Однако его геометрическое доказательство закона площадей является выдающимся примером гения Ньютона и косвенно доказывает сохранение углового момента в случае центральной силы .

Закон областей [ править ]

Вывод Ньютона [ править ]

Вывод Ньютона закона площадей с использованием геометрических средств.

Когда планета вращается вокруг Солнца , линия между Солнцем и планетой проходит через равные области через равные промежутки времени. Это было известно с тех пор, как Кеплер изложил свой второй закон движения планет . Ньютон вывел уникальное геометрическое доказательство, и пошел , чтобы показать , что сила притяжения Солнца тяжести была причиной всех законов Кеплера.

В течение первого интервала времени, объект находится в движении от точки A до точки B . Не потревоженный, он продолжит движение к точке c во время второго интервала. Когда объект прибывает в B , он получает импульс , направленный в сторону точки S . Импульс дает ему небольшую добавленную скорость по направлению к S , так что, если бы это была его единственная скорость, он переместился бы от B к V в течение второго интервала. По правилам композиции скоростей эти две скорости складываются, и точка C находится путем построения параллелограмма BcCV. Таким образом, путь объекта отклоняется импульсом так, что он достигает точки C в конце второго интервала. Поскольку треугольники SBc и SBC имеют одинаковое основание SB и одинаковую высоту Bc или VC , они имеют одинаковую площадь. По симметрии треугольник SBc также имеет ту же площадь, что и треугольник SAB , поэтому объект охватил равные площади SAB и SBC в равное время.

В точке С , объект получает еще один импульс в направлении S , снова отклоняющего свой путь в течение третьего интервала от D до D . Таким образом, он продолжается до E и дальше, треугольники SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE имеют одинаковую площадь. Позволяя временным интервалам становиться все меньше, путь ABCDE бесконечно приближается к непрерывной кривой.

Обратите внимание: поскольку этот вывод является геометрическим и не применяется особая сила, он доказывает более общий закон, чем второй закон движения планет Кеплера. Это показывает, что Закон областей применим к любой центральной силе, притягивающей или отталкивающей, непрерывной или прерывистой, или нулевой.

Сохранение углового момента в Законе площадей [ править ]

Пропорциональность углового момента площади, выметаемой движущимся объектом, можно понять, осознав, что основания треугольников, то есть линии от S к объекту, эквивалентны радиусу r , а высота треугольники пропорциональны перпендикулярной составляющей скорости v ⊥ . Следовательно, если площадь, охватываемая за единицу времени, постоянна, то по формуле треугольной площади1/2(основание) (высота) , произведение (основание) (высота) и, следовательно, произведение rv постоянны: если r и длина основания уменьшаются, v и высота должны увеличиваться пропорционально. Масса постоянна, поэтому угловой момент rmv ⊥ сохраняется за счет этого обмена расстоянием и скоростью.

В случае треугольника SBC площадь равна1/2( SB ) ( ВК ). Где бы ни находился C из-за импульса, приложенного к B , произведение ( SB ) ( VC ) и, следовательно, rmv остаются постоянными. Аналогично для каждого из треугольников.

После Ньютона [ править ]

Леонард Эйлер , Даниэль Бернулли и Патрик д'Арси понимали угловой момент с точки зрения сохранения пространственной скорости , что стало результатом их анализа второго закона движения планет Кеплера. Маловероятно, что они осознавали последствия для обычного вращающегося вещества. [40]

В 1736 году Эйлер, как и Ньютон, коснулся некоторых уравнений углового момента в своей « Механике» без дальнейшего их развития. [41]

Бернулли написал в письме 1744 года о «моменте вращательного движения», возможно, о первой концепции углового момента, как мы ее теперь понимаем. [42]

В 1799 году Пьер-Симон Лаплас впервые осознал, что неподвижная плоскость связана с вращением - его неизменной плоскостью .

Луи Пуансо в 1803 году начал представлять вращения как отрезок прямой, перпендикулярный вращению, и подробно остановился на «сохранении моментов».

В 1852 году Леон Фуко использовал гироскоп в эксперименте, чтобы показать вращение Земли.

В Руководстве по прикладной механике Уильяма Дж. М. Ренкина 1858 г. впервые определен угловой момент в современном смысле:

... линия, длина которой пропорциональна величине углового момента, направление которой перпендикулярно плоскости движения тела и неподвижной точки, и такая, что когда движение тела рассматривается со стороны На конце линии радиус-вектор тела имеет правостороннее вращение.

В издании той же книги 1872 года Рэнкин заявил, что «термин угловой момент был введен мистером Хейвордом» [43], вероятно, имея в виду статью Р. Б. Хейворда « О прямом методе оценки скоростей, ускорений и всех подобных величин относительно to Axes, которые можно перемещать любым способом в Space with Applications, [44], который был введен в 1856 году и опубликован в 1864 году. Ранкин ошибся, поскольку во многих публикациях этот термин используется с конца 18-го до начала 19-го веков. [45] Тем не менее, статья Хейворда, по-видимому, была первым использованием этого термина и концепции, которое увидела большая часть англоязычного мира. До этого угловой момент на английском языке обычно назывался «моментом вращения».[46]

См. Также [ править ]

  • Абсолютный угловой момент
  • Связь по угловому моменту
  • Угловой момент света
  • Диаграммы углового момента (квантовая механика)
  • Коэффициенты Клебша – Гордана
  • Линейно-вращательные аналоги
  • Порядки величины (угловой момент)
  • Псевдовектор Паули – Любанского
  • Относительный угловой момент
  • Релятивистский угловой момент
  • Жесткий ротор
  • Энергия вращения
  • Удельный относительный угловой момент
  • Ираст

Сноски [ править ]

  1. ^ де Подеста, Майкл (2002). Понимание свойств материи (2-е, иллюстрированное, пересмотренное изд.). CRC Press. п. 29. ISBN 978-0-415-25788-6. Отрывок страницы 29
  2. Перейти ↑ Wilson, EB (1915). Линейный импульс, кинетическая энергия и угловой момент . Американский математический ежемесячник . XXII . Ginn and Co., Бостон, в сотрудничестве с Чикагским университетом и др. п. 190 - через книги Google.
  3. ^ Уортингтон, Артур М. (1906). Динамика вращения . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 21 - через гугл книги.
  4. ^ Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Научные книги университета, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 90 . ISBN 978-1-891389-22-1.
  5. ^ Dadourian, HM (1913). Аналитическая механика для студентов физико-технических специальностей . D. Van Nostrand Company, Нью-Йорк. п. 266 - через гугл книги.
  6. Перейти ↑ Watson, W. (1912). Общая физика . Longmans, Green and Co., Нью-Йорк. п. 33 - через гугл книги.
  7. ^ Баркер, Джордж Ф. (1893). Физика: Продвинутый курс (4-е изд.). Генри Холт и компания, Нью-Йорк. п. 66 - через Google Книги.
  8. ^ Баркер, Джордж Ф. (1893). Физика: Продвинутый курс (4-е изд.). Генри Холт и компания, Нью-Йорк. С. 67–68 - через Google Книги.
  9. ^ Оберг, Эрик; и другие. (2000). Справочник машин (26-е изд.). Industrial Press, Inc., Нью-Йорк. п. 143. ISBN 978-0-8311-2625-4.
  10. Перейти ↑ Watson, W. (1912). Общая физика . Longmans, Green and Co., Нью-Йорк. п. 34 - через книги Google.
  11. ^ Кент, Уильям (1916). Карманный справочник инженеров-механиков (9-е изд.). John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк. п. 517 - через гугл книги.
  12. ^ Оберг, Эрик; и другие. (2000). Справочник машин (26-е изд.). Industrial Press, Inc., Нью-Йорк. п. 146. ISBN. 978-0-8311-2625-4.
  13. ^ Оберг, Эрик; и другие. (2000). Справочник машин (26-е изд.). Industrial Press, Inc., Нью-Йорк. С. 161–162. ISBN 978-0-8311-2625-4.
  14. ^ Кент, Уильям (1916). Карманный справочник инженеров-механиков (9-е изд.). John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк. п. 527 - через гугл книги.
  15. ^ Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. ISBN 978-1-56347-342-5., п. 97
  16. ^ Рэнкин, WJM (1872). Руководство по прикладной механике (6-е изд.). Чарльз Гриффин и компания, Лондон. п. 507 - через гугл книги.
  17. ^ a b Crew, Генри (1908). Принципы механики: для студентов-физиков и инженеров . Longmans, Green, and Company, Нью-Йорк. п. 88 - через книги Google.
  18. ^ Уортингтон, Артур М. (1906). Динамика вращения . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 82 - через гугл книги.
  19. ^ Уортингтон, Артур М. (1906). Динамика вращения . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 11 - через гугл книги.
  20. ^ Стивенсон, Франция; Моррисон, LV; Уитроу, GJ (1984). «Долгосрочные изменения во вращении Земли - с 700 г. до н.э. по 1980 г. н.э.». Философские труды Королевского общества . 313 (1524): 47-70. Bibcode : 1984RSPTA.313 ... 47S . DOI : 10,1098 / rsta.1984.0082 . S2CID 120566848 .  +2,40 мс / столетие, разделенное на 36525 дней.
  21. ^ Дики, Джо; и другие. (1994). "Лунный лазерный дальномер: продолжающееся наследие программы Аполлон" (PDF) . Наука . 265 (5171): 482–90, см. 486. Bibcode : 1994Sci ... 265..482D . DOI : 10.1126 / science.265.5171.482 . PMID 17781305 . S2CID 10157934 .   
  22. ^ Ландау, LD; Лифшиц, Э.М. (1995). Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Оксфорд, Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2768-9.
  23. Перейти ↑ Tenenbaum, M., & Pollard, H. (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения - элементарный учебник для студентов-математиков. Техника и науки.
  24. ^ Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. стр. 115. ISBN 978-1-56347-342-5.
  25. Перейти ↑ Wilson, EB (1915). Линейный импульс, кинетическая энергия и угловой момент . Американский математический ежемесячник . XXII . Ginn and Co., Бостон, в сотрудничестве с Чикагским университетом и др. п. 188, уравнение (3) - через Google books.
  26. Перейти ↑ Wilson, EB (1915). Линейный импульс, кинетическая энергия и угловой момент . Американский математический ежемесячник . XXII . Ginn and Co., Бостон, в сотрудничестве с Чикагским университетом и др. п. 191, теорема 8 - через книги Google.
  27. ^ Synge и Schild, Тензорное исчисление, Dover публикации, издание 1978 г., стр. 161. ISBN 978-0-486-63612-2 . 
  28. ^ RP Feynman; РБ Лейтон; М. Сэндс (1964). Лекции Фейнмана по физике (том 2) . Аддисон-Уэсли. С. 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2.
  29. ^ Зал 2013 Раздел 17.3
  30. ^ Таллер, Таллер (2005). Продвинутая визуальная квантовая механика (иллюстрированный ред.). Springer Science & Business Media. п. 114. ISBN 978-0-387-27127-9. Выдержка страницы 114
  31. Перейти ↑ Veltman, Martinus JG (2018). Факты и загадки в физике элементарных частиц (отредактированная ред.). World Scientific. ISBN 978-981-323-707-0.
  32. ^ Стрэндж, Пол (1998). Релятивистская квантовая механика: с приложениями в конденсированной среде и атомной физике (иллюстрировано под ред.). Издательство Кембриджского университета. п. 64. ISBN 978-0-521-56583-7. Отрывок страницы 64
  33. ^ Ballantine, KE; Донеган, JF; Истхэм, PR (2016). «Есть много способов вращать фотон: Полуквантование полного оптического углового момента» . Успехи науки . 2 (4): e1501748. Bibcode : 2016SciA .... 2E1748B . DOI : 10.1126 / sciadv.1501748 . PMC 5565928 . PMID 28861467 .  
  34. JH Ван Флек (1951). «Связь векторов углового момента в молекулах». Ред. Мод. Phys . 23 (3): 213. Bibcode : 1951RvMP ... 23..213V . DOI : 10.1103 / RevModPhys.23.213 .
  35. ^ Литтлджон, Роберт (2011). «Конспект лекций о вращениях в квантовой механике» (PDF) . Physics 221B Spring 2011 . Дата обращения 13 января 2012 .
  36. Окулов, А Ю (2008). «Угловой момент фотонов и ОВФ». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 41 (10): 101001. arXiv : 0801.2675 . Bibcode : 2008JPhB ... 41j1001O . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/10/101001 .
  37. Окулов, А.Ю. (2008). «Оптические и звуковые спиральные структуры в зеркале Мандельштама - Бриллюэна» . Письма в ЖЭТФ . 88 (8): 561–566. Bibcode : 2008JETPL..88..487O . DOI : 10.1134 / s0021364008200046 . S2CID 120371573 . Архивировано из оригинала на 2015-12-22 . Проверено 31 октября 2015 . 
  38. ^ Ньютон, Исаак (1803). «Аксиомы; или законы движения, закон I» . Математические основы естественной философии . Эндрю Мотт, переводчик. HD Саймондс, Лондон. п. 322 - через гугл книги.
  39. ^ Ньютон, Аксиомы; или законы движения, следствие III
  40. ^ см. Borrelli, Arianna (2011). «Угловой момент между физикой и математикой» (PDF) . за отличное и подробное изложение концепции углового момента в истории.
  41. ^ Брюс, Ян (2008). "Эйлер: Механика Том 1" .
  42. ^ "Переписка Эйлера с Даниэлем Бернулли, Бернулли Эйлеру, 4 февраля 1744 г." (PDF) . Эйлеров архив .
  43. ^ Рэнкин, WJM (1872). Руководство по прикладной механике (6-е изд.). Чарльз Гриффин и компания, Лондон. п. 506 - через гугл книги.
  44. ^ Хейворд, Роберт Б. (1864). «О прямом методе оценки скоростей, ускорений и всех подобных величин по отношению к осям, перемещаемым любым способом в пространстве с приложениями» . Труды Кембриджского философского общества . 10 : 1. Bibcode : 1864TCaPS..10 .... 1H .
  45. ^ см., например, Gompertz, Benjamin (1818). «На маятниках, колеблющихся между щеками» . Журнал науки и искусства . III (V): 17 - через гугл книги.; Герапат, Джон (1847). Математическая физика . Whittaker and Co., Лондон. п. 56 - через гугл книги.
  46. ^ см., например, Ланден, Джон (1785). «О вращательном движении тела любой формы». Философские труды . LXXV (I): 311–332. DOI : 10,1098 / rstl.1785.0016 . S2CID 186212814 . 

Ссылки [ править ]

  • Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (2006). Квантовая механика (2 тома, изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-56952-7.
  • Кондон, ЕС; Шортли, GH (1935). «Особенно Глава 3» . Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09209-8.
  • Эдмондс, АР (1957). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07912-7.
  • Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
  • Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-30932-1.
  • Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-40842-8.
  • Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по симметриям вращения для физических систем . Вайли. ISBN 978-0-471-55264-2.
  • Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
  • Фейнман Р. , Лейтон Р. и Сэндс М. (сентябрь 2013 г.). «19–4 Кинетическая энергия вращения» . Лекции Фейнмана по физике . Веб-сайт лекций Фейнмана (онлайн-изд.).CS1 maint: uses authors parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

  • Сохранение углового момента - глава из онлайн-учебника
  • Угловой момент в процессе столкновения - вывод из трехмерного случая
  • Угловой момент и качение - больше теории импульса