Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В квантовой механике , то оператор углового момента является одним из нескольких родственных операторов , аналогичных классический угловой момент . Оператор углового момента играет центральную роль в теории атомной и молекулярной физики и других квантовых задачах, связанных с вращательной симметрией . Такой оператор применяется к математическому представлению физического состояния системы и дает значение углового момента, если состояние имеет для него определенное значение. Как в классических, так и в квантово-механических системах угловой момент (вместе с импульсом и энергией ) является одним из трех фундаментальных свойств движения. [1]

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначаемый J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначаемый L ) и спиновый угловой момент ( для краткости спин , обычно обозначаемый S ). Термин оператор углового момента может (что сбивает с толку) относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется , см . Теорему Нётер .

Обзор [ править ]

«Векторные конусы» полного углового момента J (фиолетовый), орбитали L (синий) и спина S (зеленый). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерением компонент углового момента ( см. Ниже ).

В квантовой механике угловой момент может относиться к одному из трех разных, но взаимосвязанных вещей.

Орбитальный угловой момент [ править ]

Классическое определение углового момента является . Квантово-механические аналоги этих объектов разделяют те же отношения:

где r - квантовый оператор положения , p - оператор квантового момента , × - векторное произведение , а L - оператор орбитального углового момента . L (точно так же, как p и r ) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), т.е. где L x , L y , L z - три разных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и без спина оператор орбитального углового момента может быть записан в базисе положения как:

где ∇ - векторный дифференциальный оператор, del .

Спиновый угловой момент [ править ]

Есть еще один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращаемый до спина ), представленный оператором спина . Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: спин - это внутреннее свойство частицы, не связанное с каким-либо (но наблюдаемым экспериментально) движением в пространстве. Все элементарные частицы имеют характерный спин, обычно отличный от нуля. Например, у электронов всегда есть «спин 1/2», а у фотонов всегда «спин 1» (подробности ниже ).

Полный угловой момент [ править ]

Наконец, есть полный угловой момент , который объединяет как спин, так и орбитальный угловой момент частицы или системы:

Сохранение углового момента означает, что J для замкнутой системы или J для всей вселенной сохраняется. Однако L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться туда и обратно между L и S , при этом общее J остается постоянным.

Коммутационные отношения [ править ]

Коммутационные отношения между компонентами [ править ]

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, то есть его можно записать в терминах его векторных компонентов . Компоненты имеют между собой следующие коммутационные отношения : [2]

где [,] обозначает коммутатор

В общем это можно записать как

,

где l , m , n - индексы компонентов (1 для x , 2 для y , 3 для z ), а ε lmn обозначает символ Леви-Чивиты .

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения: [3]

Коммутационные соотношения могут быть доказаны как прямое следствие канонических коммутационных соотношений , где δ lm - символ Кронекера .

Аналогичное соотношение существует и в классической физике: [4]

где L n - компонента классического оператора углового момента, - скобка Пуассона .

Те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту): [5]

.

Их можно предположить , провести по аналогии с L . В качестве альтернативы, они могут быть получены , как описано ниже .

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε lmn являются ее структурными константами . В этом случае алгебра Ли - это SU (2) или SO (3) в обозначении физики ( или, соответственно, в обозначении математики), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трех измерениях. То же самое относится и к J и S . Причина обсуждается ниже . Эти коммутационные соотношения важны для измерения и погрешности, как обсуждается ниже.

В молекулах полный момент Р является суммой ровибронных (орбитального углового момента) N , электронного спинового момента импульса S и ядерного спинового момента I . Для электронных синглетных состояний ровибронного угловой момент обозначается J , а не N . Как объяснил Ван Флек [6], компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к осям, фиксированным молекулами, имеют различные коммутационные соотношения, чем те, которые приведены выше, которые относятся к компонентам вокруг осей, фиксированных в пространстве.

Коммутационные отношения, включающие величину вектора [ править ]

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента:

.

- еще один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами ,

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, - это начать с коммутационных соотношений [ L , L m ] из предыдущего раздела:

Математически это Казимир инвариант из алгебры Ли SO (3) , натянутый .

Как и выше, в классической физике существует аналогичное соотношение:

где - компонента классического оператора углового момента, - скобка Пуассона . [8]

Возвращаясь к квантовому случаю, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту):

Принцип неопределенности [ править ]

В общем, в квантовой механике, когда два наблюдаемых оператора не коммутируют, они называются дополнительными наблюдаемыми . Две дополнительные наблюдаемые нельзя измерить одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределенности . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть известна другая. Так же, как существует принцип неопределенности, связывающий положение и импульс, существуют принципы неопределенности для углового момента.

Соотношение Робертсона – Шредингера дает следующий принцип неопределенности:

где это стандартное отклонение в измеренных значениях X и обозначает ожидаемую величину из X . Это неравенство также верно , если х, у, г перестраиваются, или если L заменяется J или S .

Следовательно, две ортогональные компоненты углового момента (например, L x и L y ) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как .

Однако возможно одновременно измерять или определять L 2 и любой компонент L ; например, L 2 и L z . Это часто бывает полезно, и значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В этом случае квантовое состояние системы является одновременное собственное состояние оператора L 2 и L г , но не из L х или L у . Собственные значения связаны с lи m , как показано в таблице ниже.

Квантование [ править ]

В квантовой механике угловой момент квантован, то есть он не может изменяться непрерывно, а только «квантовыми скачками» между определенными допустимыми значениями. Для любой системы, следующие ограничения на результатах измерений применяются, где будет уменьшен постоянная Планка : [9]

В этой стоячей волне на круглой струне круг разбит ровно на 8 длин волн . Такая стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн вроде 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов [ править ]

Обычный способ вывести приведенные выше правила квантования - это метод лестничных операторов . [11] Лестничные операторы для полного углового момента определяются как:

Предположим , это одновременное собственное состояние и (т.е. состояние с определенным значением для и определенным значением для ). Затем, используя коммутационные соотношения для компонентов , можно доказать, что каждое из состояний и равно нулю, или является одновременным собственным состоянием и с тем же значением, что и для, но со значениями для которых увеличиваются или уменьшаются соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование оператора лестничной диаграммы привело бы к состоянию, значение которого находится за пределами допустимого диапазона. Используя таким образом лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для и .

Поскольку и имеют те же коммутационные соотношения, что и , к ним может быть применен тот же лестничный анализ, за ​​исключением того, что существует дополнительное ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Визуальная интерпретация [ править ]

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Поскольку угловые моменты являются квантовыми операторами, их нельзя нарисовать как векторы, как в классической механике. Тем не менее, их часто эвристически изображают таким образом. Справа изображен набор состояний с квантовыми числами и пятью конусами снизу вверх. Поскольку все векторы показаны с длиной . Кольца представляют собой тот факт , что , как известно , с уверенностью, но и неизвестны; поэтому каждый классический вектор соответствующей длины и z -компоненты рисуется, образуя конус. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом иможет быть где-то на этом конусе, хотя его нельзя определить для одной системы (поскольку компоненты не коммутируют друг с другом).

Квантование в макроскопических системах [ править ]

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако они не имеют наблюдаемого эффекта, поэтому это не было проверено. Например, если это примерно 100000000, практически не имеет значения, является ли точное значение целым числом, таким как 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000.2 - дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращения [ править ]

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента - это генератор вращения. [5] Более конкретно, пусть будет оператором вращения , который поворачивает любое квантовое состояние вокруг оси на угол . As , оператор приближается к тождественному оператору , потому что поворот на 0 ° отображает все состояния в себя. Тогда оператор углового момента относительно оси определяется как: [5]

где 1 - тождественный оператор . Также обратите внимание , что R является аддитивным морфизм:  ; как следствие [5]

где exp - матричная экспонента .

Проще говоря, оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при ее вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . В верхнем блоке показаны две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками.
  1. Оператор R , связанный с J , вращает всю систему.
  2. Оператор R пространственный , связанный с L , поворачивает положения частиц, не изменяя их внутренние спиновые состояния.
  3. Оператор R internal , связанный с S , вращает внутренние спиновые состояния частиц, не меняя их положения.

Подобно тому, как J является генератором операторов вращения , L и S являются генераторами модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

вращает положение (в пространстве) всех частиц и полей, не меняя внутреннего (спинового) состояния любой частицы. Аналогично, оператор

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не перемещая никакие частицы или поля в пространстве. Соотношение J = L + S происходит из:

то есть, если позиции поворачиваются, а затем вращаются внутренние состояния, то вращается вся система в целом.

SU (2), SO (3) и вращение на 360 ° [ править ]

Хотя можно было ожидать (поворот на 360 ° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике и, как оказывается, часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым числом (1/2 , 3/2 и т.д.), и , когда он представляет собой целое число, . [5] Математически структура вращений во Вселенной не является SO (3) , группой трехмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU (2) , который идентичен SO (3) для небольших вращений, но где вращение на 360 ° математически отличается от вращения на 0 °. (Однако поворот на 720 ° аналогичен повороту на 0 °.) [5]

С другой стороны, при любых обстоятельствах, поскольку вращение пространственной конфигурации на 360 ° равносильно отсутствию вращения вообще. (Это отличается от вращения на 360 ° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с отсутствием вращения вообще.) Другими словами, операторы несут структуру SO (3) , в то время как и переносят структуру SU (2) .

Из уравнения выбирается собственное состояние и рисуется

Это означает, что квантовые числа орбитального углового момента могут быть только целыми, а не полуцелыми.

Связь с теорией представлений [ править ]

Начиная с определенного квантового состояния , рассмотрим набор состояний для всех возможных и , то есть набор состояний, которые возникают в результате вращения начального состояния всеми возможными способами. Это векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они образуют представление группы Ли SU (2) (для внутреннего R и R ) или SO (3) (для пространственного R ).

Из связи между J и операторами вращения,

Когда угловые операторы импульса действуют на квантовых состояниях, он образует представление о алгебрах Ли или .

(Алгебры Ли групп SU (2) и SO (3) идентичны.)

Приведенный выше вывод лестничного оператора - это метод классификации представлений алгебры Ли SU (2).

Подключение к коммутационным отношениям [ править ]

Классические вращения не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1 ° вокруг оси x, затем на 1 ° вокруг оси y дает немного другое общее вращение, чем поворот на 1 ° вокруг оси y, затем на 1 ° вокруг оси x - ось. Путем тщательного анализа этой некоммутативности можно вывести коммутационные соотношения операторов углового момента. [5]

(Эта же процедура расчетно один из способов ответить на математический вопрос «Что такое алгебра Ли из группы Ли SO (3) или SU (2) ?»)

Сохранение углового момента [ править ]

Гамильтониан H представляет собой энергию и динамику системы. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно поворотов:

где R - оператор вращения . Как следствие, и затем за счет взаимосвязи между J и R . По эренфестовской теореме следует , что J сохраняются.

Подводя итог, если H инвариантен относительно вращения (сферически симметричный), то полный угловой момент J сохраняется. Это пример теоремы Нётер .

Если H - это просто гамильтониан для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть, когда функция потенциальной энергии зависит только от ). В качестве альтернативы, Н может быть гамильтонова всех частиц и полей во Вселенной, а затем Н является всегда вращательно-инвариантной, так как фундаментальные физические законы вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это основание для утверждения, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется в тех же условиях. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S или обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Связь по угловому моменту [ править ]

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальной связи угловой момент может передаваться между L и S , но сохраняется только полное J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой собственный угловой момент J 1 и J 2 , но сохраняется только общий J = J 1 + J 2 .

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь между, с одной стороны, состояниями, все из которых имеют определенные значения, и, с другой стороны, состояниями, в которых все имеют определенные значения, поскольку последние четыре обычно сохраняются (константы движения ). Процедура перехода между этими базами заключается в использовании коэффициентов Клебша – Гордана .

Одним из важных результатов в этой области является связь между квантовыми числами для :

.

Для атома или молекулы с J = L + S , то термин символ дает квантовые числа , связанные с операторами .

Орбитальный угловой момент в сферических координатах [ править ]

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен [17] [18]

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть выражена угловым моментом. Это приводит к соотношению

Решая найти собственные состояния оператора , мы получаем следующее

куда

- сферические гармоники . [19]

См. Также [ править ]

  • Вектор Рунге-Ленца (используется для описания формы и ориентации тел на орбите)
  • Преобразование Гольштейна – Примакова
  • Отображение Жордана ( бозонная модель углового момента Швингера [20] )
  • Векторная модель атома
  • Псевдовектор Паули – Любанского
  • Диаграммы углового момента (квантовая механика)
  • Сферическая основа
  • Тензорный оператор
  • Орбитальная намагниченность
  • Орбитальный угловой момент свободных электронов
  • Орбитальный угловой момент света

Примечания [ править ]

  1. ^ В выводе Кондона и Шортли, на котором основан текущий вывод, набор наблюдаемыхвместе сиобразуют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Кроме тогоони требоваличтокоммутирует си. [12] Настоящий вывод упрощен тем, что не включает наборили соответствующий ему набор собственных значений.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Введение в квантовую механику, Ричард Л. Либофф , 2-е издание, ISBN  0-201-54715-5
  2. ^ Aruldhas Г. (2004-02-01). «формула (8.8)» . Квантовая механика . п. 171. ISBN. 978-81-203-1962-2.
  3. ^ Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. п. 319 . ISBN 9780306447907.
  4. ^ Х. Гольдштейн, С. П. Пул и Дж. Сафко, Классическая механика, 3-е издание , Addison-Wesley 2002, стр. 388 и далее.
  5. ^ Б с д е е г Littlejohn, Роберт (2011). «Конспект лекций о вращениях в квантовой механике» (PDF) . Physics 221B Spring 2011 . Дата обращения 13 января 2012 .
  6. JH Ван Флек (1951). «Связь векторов углового момента в молекулах». Ред. Мод. Phys . 23 (3): 213. Bibcode : 1951RvMP ... 23..213V . DOI : 10.1103 / RevModPhys.23.213 .
  7. Перейти ↑ Griffiths, David J. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . п. 146 .
  8. ^ Голдштейн и др., Стр. 410
  9. ^ Кондон, ЕС ; Шортли, GH (1935). «Глава III: Угловой момент» . Квантовая теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521092098.
  10. ^ Введение в квантовую механику: с приложениями к химии , Линус Полинг, Эдгар Брайт Уилсон, страница 45, ссылка на книги Google
  11. Перейти ↑ Griffiths, David J. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . стр.  147 -149.
  12. ^ a b Condon & Shortley 1935 , стр. 46–47
  13. ^ Кондон & Шортли 1935 , стр. 50–51
  14. ^ Кондон & Шортли 1935 , стр. 50, уравнение 1
  15. ^ Кондон & Шортли 1935 , стр. 50, уравнение 3
  16. ^ Кондон & Шортли 1935 , стр. 51
  17. ^ Бес, Дэниел Р. (2007). Квантовая механика . Продвинутые тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 70. Bibcode : 2007qume.book ..... B . DOI : 10.1007 / 978-3-540-46216-3 . ISBN 978-3-540-46215-6.
  18. ^ Сравни и сопоставьте с контрагредиентной классической L .
  19. ^ Сакураи, JJ & Napolitano, J (2010), Современная квантовая механика (2-е издание) (Пирсон) ISBN 978-0805382914 
  20. ^ Швингер, Джулиан (1952). Об угловом моменте (PDF) . Комиссия по атомной энергии США.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
  • Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6   
  • Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
  • Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
  • Физика атомов и молекул , BH Bransden, CJJoachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2 
  • Угловой момент. Понимание пространственных аспектов в химии и физике , Р. Н. Заре, Wiley-Interscience, 1991, ISBN 978-0-47-1858928