Антисимметричное отношение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Антисимметричное отношение» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Бинарные отношения

	Симметричный	Антисимметричный	Connex	Обоснованный	Присоединяется	Встречается
Отношение эквивалентности	✓	✗	✗	✗	✗	✗
Предзаказ (квазипорядок)	✗	✗	✗	✗	✗	✗
Частичный заказ	✗	✓	✗	✗	✗	✗
Всего предзаказ	✗	✗	✓	✗	✗	✗
Общий заказ	✗	✓	✓	✗	✗	✗
Предварительный заказ	✗	✗	✓	✓	✗	✗
Хорошо-квазиупорядоченный	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Хороший порядок	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Решетка	✗	✓	✗	✗	✓	✓
Соединение-полурешетка	✗	✓	✗	✗	✓	✗
Встреча-полурешетка	✗	✓	✗	✗	✗	✓

« ✓ » указывает на то, что свойство столбца требуется в определении строки.
Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным.
Все определения неявно требуют транзитивности и рефлексивности .

В математике , А однородное отношение R на множестве X является антисимметричным , если не существует пара различных элементов X , каждая из которых связана с R до другого. Более формально R антисимметрично в точности, если для всех a и b из X

если R ( a , b ) с a ≠ b , то R ( b , a ) не должно выполняться,

или, что то же самое,

если R ( a , b ) и R ( b , a ), то a = b .

(Определение антисимметрии ничего не говорит о том, действительно ли R ( a , a ) выполняется или нет для любого a .)

Примеры [ править ]

Делимость отношение на натуральных числах является важным примером антисимметрических отношений. В этом контексте антисимметрия означает, что единственный способ деления каждого из двух чисел на другое - это если эти два числа фактически являются одним и тем же числом; эквивалентно, если n и m различны и n является фактором m , то m не может быть фактором n . Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12.

Обычное отношение порядка ≤ для действительных чисел антисимметрично: если для двух действительных чисел x и y выполняются оба неравенства x ≤ y и y ≤ x, то x и y должны быть равны. Точно так же порядок подмножеств ⊆ на подмножествах любого заданного набора антисимметричен: для данных двух наборов A и B , если каждый элемент в A также находится в B и каждый элемент в B также находится в A , то Aи B должны содержать все одинаковые элементы и, следовательно, быть равными:

{\ Displaystyle A \ substeq B \ земля B \ substeq A \ Rightarrow A = B}

Примером из реальной жизни отношения, которое обычно является антисимметричным, является «оплачен счет ресторана» (понимаемый как ограниченный конкретным случаем). Обычно одни люди оплачивают свои собственные счета, а другие - своих супругов или друзей. Пока два человека не платят друг другу по счетам, отношения антисимметричны.

Свойства [ править ]

Частичные и полные порядки антисимметричны по определению. Отношения могут быть как симметричными, так и антисимметричными (в этом случае они должны быть корефлексивными ), и есть отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение «жертвы» для биологических видов ).

Антисимметрия отличается от асимметрии : отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивно .

См. Также [ править ]

Рефлексивное отношение - бинарное отношение над множеством, в котором каждый элемент связан сам с собой.
Симметрия в математике

Ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Антисимметричные отношения» . MathWorld .
Липшуц, Сеймур ; Марк Ларс Липсон (1997). Теория и проблемы дискретной математики . Макгроу-Хилл. п. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
Антисимметричное отношение nLab