Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Арифметические таблицы для детей, Лозанна, 1835 г.

Арифметика (от греческого ἀριθμός arithmos , « число » и τική [τέχνη] , Tike [TECHNE] , « искусство » или « ремесло ») является филиалом математики , которая состоит из изучения чисел , особенно свойств традиционных операций на них - сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в степень и извлечение корней . [1] [2] [3]Арифметика - это элементарная часть теории чисел , и теория чисел считается одним из главных разделов современной математики , наряду с алгеброй , геометрией и анализом . Термины арифметика и высшая арифметика использовались до начала 20-го века как синонимы теории чисел и иногда до сих пор используются для обозначения более широкой части теории чисел. [4]

История [ править ]

Предыстория арифметики ограничена небольшим количеством артефактов, которые могут указывать на концепцию сложения и вычитания, наиболее известной из которых является кость Ишанго из Центральной Африки , датируемая примерно между 20 000 и 18 000 годами до нашей эры, хотя ее интерпретация оспаривается. [5]

Самые ранние письменные источники указывают на то, что египтяне и вавилоняне использовали все элементарные арифметические операции еще в 2000 году до нашей эры. Эти артефакты не всегда раскрывают конкретный процесс, используемый для решения задач, но характеристики конкретной системы счисления сильно влияют на сложность методов. Иероглифическая система египетских цифр , как и более поздние римские цифры , произошла от счетных знаков, используемых для счета. В обоих случаях это происхождение приводило к значениям, которые использовали десятичную основу, но не включали позиционную нотацию.. Сложные вычисления с римскими цифрами требовали помощи счетной доски (или римских счётов ) для получения результатов.

Системы раннего числа , которые включали позиционное обозначение не десятичные, включая шестидесятеричную (основание 60) систему вавилонских цифр , и двадцатеричную (основание 20) системы , которая определила цифры майя . Из-за этой концепции разряда возможность многократно использовать одни и те же цифры для разных значений способствовала более простым и эффективным методам вычислений.

Непрерывное историческое развитие современной арифметики начинается с эллинистической цивилизации Древней Греции, хотя она возникла намного позже, чем вавилонский и египетский примеры. До работ Евклида около 300 г. до н.э. греческие исследования в области математики пересекались с философскими и мистическими верованиями. Например, Никомах резюмировал точку зрения более раннего пифагорейского подхода к числам и их отношениям друг к другу в своем « Введении в арифметику» .

Греческие цифры использовались Архимедом , Диофантом и другими в позиционной системе обозначений, не сильно отличавшейся от современной. У древних греков не было символа для нуля до эллинистического периода, и они использовали три отдельных набора символов в качестве цифр : один набор для разряда единиц, один для разряда десятков и один для сотен. Для места тысяч они будут повторно использовать символы для места единиц и так далее. Их алгоритм сложения был идентичен современному методу, а их алгоритм умножения лишь немного отличался. Их алгоритм длинного деления был таким же, как и алгоритм вычисления квадратного корня., широко используемый еще в 20 веке, был известен Архимеду (который, возможно, его изобрел). Он предпочел его методу последовательного приближения Героя, потому что после вычисления цифра не меняется, а квадратные корни из полных квадратов, такие как 7485696, сразу заканчиваются на 2736. Для чисел с дробной частью, таких как 546.934, они использовали отрицательные степени 60 - вместо отрицательных степеней 10 для дробной части 0,934. [6]

У древних китайцев были развитые арифметические исследования, начиная с династии Шан и продолжаясь до династии Тан, от основных чисел до продвинутой алгебры. Древние китайцы использовали позиционную систему обозначений, аналогичную греческой. Так как у них также не было символа для нуля , у них был один набор символов для разряда единиц и второй набор для разряда десятков. Для разряда сотен они затем повторно использовали символы для разряда единиц и так далее. Их символы были основаны на древних счетных стержнях . Точное время, когда китайцы начали вычислять с позиционным представлением, неизвестно, хотя известно, что внедрение началось до 400 г. до н.э. [7]Древние китайцы первыми осмысленно открыли, поняли и применили отрицательные числа. Это объясняется в Девяти главах по математическому искусству ( Jiuzhang Suanshu ), написанных Лю Хуэем и датируемых II веком до нашей эры.

Постепенное развитие индуистско-арабской системы счисления привело к независимой разработке концепции разметки и позиционного обозначения, которые объединили более простые методы вычислений с десятичным основанием и использованием цифры, представляющей 0 . Это позволило системе последовательно представлять как большие, так и маленькие целые числа - подход, который в конечном итоге заменил все другие системы. В начале VI века нашей эры индийский математик Арьябхата включил существующую версию этой системы в свою работу и экспериментировал с различными обозначениями. В 7 веке Брахмагуптаустановил использование 0 как отдельного числа и определил результаты умножения, деления, сложения и вычитания нуля и всех других чисел, за исключением результата деления на ноль . Его современник, сирийский епископ Северус Себохт (650 г. н.э.) сказал: «У индейцев есть метод расчета, который не может похвалить ни одно слово. Их рациональная математическая система или их метод расчета. Я имею в виду систему с использованием девяти символов». [8] Арабы также изучили этот новый метод и назвали его хесаб .

Ступенчатый счетчик Лейбница был первым калькулятором, который мог выполнять все четыре арифметических действия.

Хотя Codex Vigilanus описал раннюю форму арабских цифр (без 0) к 976 году нашей эры, Леонардо Пизанский ( Фибоначчи ) был в первую очередь ответственен за распространение их использования по Европе после публикации его книги Liber Abaci в 1202 году. Метод индейцев (лат. Modus Indorum ) превосходит все известные методы вычислений. Это изумительный метод. Они проводят свои вычисления с использованием девяти цифр и символа ноль ". [9]

В средние века арифметика была одним из семи гуманитарных наук, преподаваемых в университетах.

Расцвет алгебры в средневековом исламском мире, а также в Европе эпохи Возрождения был результатом огромного упрощения вычислений с помощью десятичной системы счисления.

Были изобретены и широко используются различные типы инструментов для помощи в числовых вычислениях. До Возрождения это были абаки различных типов . Более свежие примеры включают правила скольжения , номограммы и механические калькуляторы , такие как калькулятор Паскаля . В настоящее время их вытеснили электронные калькуляторы и компьютеры .

Арифметические операции [ править ]

Основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление, хотя арифметика также включает более сложные операции, такие как манипуляции с процентами , [3] квадратными корнями , возведением в степень , логарифмическими функциями и даже тригонометрическими функциями в том же духе, что и логарифмы ( простафаэрез ). Арифметические выражения должны оцениваться в соответствии с предполагаемой последовательностью операций. Есть несколько методов, чтобы указать это, либо - наиболее распространенный, вместе с инфиксной нотацией - явно используя круглые скобки и полагаясь на правила приоритета , либо используя префикс илипостфиксные обозначения, которые однозначно фиксируют порядок выполнения сами по себе. Любой набор объектов, над которым могут быть выполнены все четыре арифметические операции (кроме деления на ноль ) и где эти четыре операции подчиняются обычным законам (включая дистрибутивность), называется полем . [10]

Дополнение [ править ]

Сложение, обозначаемое символом , является самой базовой операцией арифметики. В своей простой форме сложение объединяет два числа, слагаемые или члены , в одно число, сумму чисел (например, 2 + 2 = 4 или 3 + 5 = 8 ).

Сложение конечного числа чисел можно рассматривать как повторяющееся простое сложение; эта процедура известна как суммирование , термин, который также используется для обозначения определения «сложения бесконечного числа чисел» в бесконечный ряд . Многократное добавление числа  1 - самая простая форма счета ; результат добавления 1 обычно называется преемником исходного числа.

Сложение является коммутативным и ассоциативным , поэтому порядок добавления конечного числа членов не имеет значения.

Число 0 обладает тем свойством , что при добавлении в любом количестве, он дает тот же номер; Итак, это элемент идентичности добавления или аддитивная идентичность . [1]

Для каждого числа х , существует такое число обозначается - х , называется противоположной от х , такой , что х + (- х ) = 0 и (- х ) + х = 0 . Так, в противоположности й является обратным по й относительно сложения, или аддитивных обратной от х . [1] Например, 7 равно −7 , поскольку 7 + (−7) = 0 .

Сложение также можно интерпретировать геометрически, как в следующем примере. Если у нас есть две палки длиной 2 и 5 , тогда, если палочки выровнены одна за другой, длина комбинированной палочки станет 7 , так как 2 + 5 = 7 .

Вычитание [ править ]

Вычитание, обозначенное символом , является операцией, обратной сложению. Вычитание находит разницу между двумя числами, в уменьшаемом минусе вычитаемых : D = M - S . Обращение к ранее установленным Кроме того, это означает , что разница этого число , которое при добавлении к вычитаемому, приводит к уменьшаемому: D + S = М . [2]

Для положительных аргументов M и S :

Если уменьшаемое больше, чем вычитаемое, разность D положительна.
Если уменьшаемое меньше, чем вычитаемое, разность D отрицательна.

В любом случае, если minuend и subtrahend равны, разница D = 0.

Вычитание не коммутативно и не ассоциативно . По этой причине от построения этой обратной операции в современной алгебре часто отказываются в пользу введения концепции обратных элементов (как показано в § Дополнение ), где вычитание рассматривается как добавление аддитивной обратной операции вычитаемого к уменьшаемому, т. Е. есть, a - b = a + (- b ) . Непосредственной ценой отказа от бинарной операции вычитания является введение (тривиальной) унарной операции , предоставление аддитивного обратного для любого заданного числа и потеря непосредственного доступа к понятию разности., что может ввести в заблуждение, когда речь идет об отрицательных аргументах.

Для любого представления чисел существуют методы вычисления результатов, некоторые из которых особенно полезны при использовании процедур, существующих для одной операции, путем небольших изменений также и для других. Например, цифровые компьютеры могут повторно использовать существующие схемы сложения и сохранять дополнительные схемы для реализации вычитания, используя метод дополнения до двух для представления аддитивных инверсий, что чрезвычайно легко реализовать аппаратно ( отрицание ). Компромисс - уменьшение вдвое диапазона чисел для фиксированной длины слова.

Ранее широко распространенным методом достижения правильной суммы сдачи, зная причитающуюся и полученную суммы, является метод подсчета , который не генерирует явным образом значение разницы. Предположим , что сумма Р задается для того , чтобы оплатить необходимую сумму Q , с P больше , чем Q . Вместо того, чтобы явно выполнять вычитание P - Q = C и подсчитывать эту сумму C в сдаче, деньги отсчитываются, начиная с преемника Q и продолжая шаги валюты, пока Pдостигается. Хотя подсчитанная сумма должна равняться результату вычитания P - Q , вычитание на самом деле никогда не производилось, и значение P - Q не предоставляется этим методом.

Умножение [ править ]

Умножение, обозначаемое символами или , [1], является второй основной операцией арифметики. Умножение также объединяет два числа в одно число - произведение . Два исходных числа называются множителем и множимым , в большинстве случаев оба они просто множители .

Умножение можно рассматривать как операцию масштабирования. Если представить себе числа лежащими в линию, умножение на число больше 1, скажем x , равносильно равномерному растягиванию всего от 0 таким образом, чтобы само число 1 растянулось туда, где было x . Точно так же умножение на число меньше 1 можно представить как стремление к 0, так что 1 переходит в множимое.

Другой взгляд на умножение целых чисел (расширяемый до рациональных, но не очень доступный для действительных чисел) заключается в рассмотрении его как повторного сложения. Например. 3 × 4 соответствует либо 3 умножению на 4 , либо 4 умножению на 3 , что дает тот же результат. Существуют разные мнения о преимуществах этих парадигм в математическом образовании.

Умножение коммутативно и ассоциативно; кроме того, оно распространяется на сложение и вычитание. Мультипликативная идентичность равна 1, [1] , так как умножение любого числа на 1 дают то же самое числа. Мультипликативные обратная для любого числа , кроме  0 является обратной этим числом, так как умножение на обратном любое числе от самого числа дает мультипликативный идентичность 1 . 0  - единственное число без обратного умножения, и результат умножения любого числа на 0 снова равен 0. Говорят, что 0не содержится в мультипликативной группе чисел.

Произведение a и b записывается как a × b или a · b . Когда a или b являются выражениями, написанными не просто цифрами, они также записываются простым сопоставлением:  ab . [1] В языках программирования компьютера и пакеты программного обеспечения (в которых можно использовать только символы , обычно находящиеся на клавиатуре), он часто пишутся со звездочкой:  a * b.

Алгоритмы, реализующие операцию умножения для различных представлений чисел, намного более затратны и трудоемки, чем алгоритмы сложения. Те, которые доступны для ручного вычисления, полагаются либо на разбиение факторов на однозначные значения и применение повторного сложения, либо на использование таблиц или правил скольжения , тем самым отображая умножение на сложение и наоборот. Эти методы устарели и постепенно заменяются мобильными устройствами. Компьютеры используют разнообразные сложные и оптимизированные алгоритмы для реализации умножения и деления для различных числовых форматов, поддерживаемых в их системе.

Подразделение [ править ]

Деление, обозначаемое символами или , [1], по сути, является обратной операцией умножения. Деление находит частное двух чисел, делимое деленное на делитель . Любой дивиденд, деленный на ноль, не определен. Для различных положительных чисел, если делимое больше делителя, частное больше 1, в противном случае оно меньше 1 (аналогичное правило применяется для отрицательных чисел). Частное, умноженное на делитель, всегда дает дивиденд.

Деление не коммутативно и не ассоциативно. Итак, как объяснено в § Вычитание , построение деления в современной алгебре отбрасывается в пользу построения элементов, обратных умножению, как это было введено в § Умножение . Следовательно, деление - это умножение дивиденда на величину, обратную делителю в качестве множителей, то есть a ÷ b = a ×1/б.

В натуральных числах существует также другое, но связанное с этим понятие, называемое евклидовым делением , которое выводит два числа после «деления» натурального N (числитель) на натуральный D (знаменатель): первое натуральное Q (частное), а второе - натуральное число. натуральный R (остаток) такой, что N = D × Q + R и 0 ≤ R < Q .

Основная теорема арифметики [ править ]

Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число больше 1 имеет уникальную факторизацию на простые множители (представление числа как произведения простых множителей), исключая порядок множителей. Например, 252 имеет только одно разложение на простые множители:

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

Элементы Евклида впервые представили эту теорему и дали частичное доказательство (которое называется леммой Евклида ). Основная теорема арифметики была впервые доказана Карлом Фридрихом Гауссом .

Основная теорема арифметики - одна из причин, почему 1 не считается простым числом . Другие причины включают решето Эратосфена и определение самого простого числа (натурального числа больше 1, которое не может быть образовано путем умножения двух меньших натуральных чисел).

Десятичная арифметика [ править ]

Десятичное представление обычно относится исключительно к письменной системе счисления, в которой арабские цифры используются в качестве цифр для позиционной системы счисления с основанием 10 ("десятичная") ; однако любая система счисления, основанная надесятичных числах, например греческие , кириллические , римские или китайские числа, может концептуально описываться как «десятичное представление» или «десятичное представление».

Современные методы для четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление) были впервые изобретены Брахмагуптой из Индии. В средневековой Европе это было известно как «Modus Indoram» или метод индейцев. Позиционное обозначение (также известное как "обозначение разряда") относится к представлению или кодированию чисел с использованием одного и того же символа для разных порядков величины (например, "разряды единиц", «разряды десятков», «разряды сотен»). и, с точкой счисления , использование тех же символов для представления дробей (например, «десятые доли», «сотые доли»). Например, 507,36 означает 5 сотен (10 2 ),плюс 0 десятков (10 1 ), плюс 7 единиц (100 ) плюс 3 десятых (10 −1 ) плюс 6 сотых (10 −2 ).

Концепция 0 как числа, сравнимого с другими основными цифрами, важна для этой нотации, как и концепция использования 0 в качестве заполнителя, а также определение умножения и сложения с 0. Использование 0 в качестве заполнителя и Таким образом, использование позиционного обозначения впервые засвидетельствовано в джайнском тексте из Индии под названием Локавибхага , датированном 458 г. н.э., и только в начале 13 века эти концепции, переданные через научные исследования арабского мира , были введены. в Европу по Фибоначчам [11] с использованием индо-арабской системы счисления.

Алгоризм включает в себя все правила выполнения арифметических вычислений с использованием этого типа письменных чисел. Например, сложение дает сумму двух произвольных чисел. Результат вычисляется путем повторного сложения одиночных цифр из каждого числа, занимающего одну и ту же позицию, начиная справа налево. В таблице сложения с десятью строками и десятью столбцами отображаются все возможные значения для каждой суммы. Если индивидуальная сумма превышает значение 9, результат представляется двумя цифрами. Самая правая цифра - это значение для текущей позиции, а результат последующего сложения цифр слева увеличивается на значение второй (самой левой) цифры, которая всегда равна единице (если не нулю). Эта корректировка называется переносом значения 1.

Процесс умножения двух произвольных чисел аналогичен процессу сложения. В таблице умножения с десятью строками и десятью столбцами перечислены результаты для каждой пары цифр. Если отдельное произведение пары цифр превышает 9, корректировка переноса увеличивает результат любого последующего умножения цифр слева на значение, равное второй (крайней левой) цифре, то есть любому значению от 1 до 8 ( 9 × 9 = 81 ). Дополнительные шаги определяют конечный результат.

Подобные методы существуют для вычитания и деления.

Создание правильного процесса умножения зависит от соотношения между значениями соседних цифр. Значение любой отдельной цифры в цифре зависит от ее положения. Кроме того, каждая позиция слева представляет значение в десять раз больше, чем позиция справа. С математической точки зрения показатель степени для системы счисления (основания) 10 увеличивается на 1 (слева) или уменьшается на 1 (справа). Следовательно, значение любой произвольной цифры умножается на значение формы 10 n с целым числом  n . Список значений, соответствующих всем возможным позициям для одной цифры, записывается как {..., 10 2 , 10, 1, 10 -1 , 10 -2 , ...}.

Повторное умножение любого значения в этом списке на 10 дает другое значение в списке. В математической терминологии эта характеристика определяется как замыкание , а предыдущий список описывается как закрытый при умножении . Это основа для правильного нахождения результатов умножения с использованием предыдущей техники. Этот результат - один из примеров использования теории чисел .

Составная арифметика единиц[ редактировать ]

Составная [12] арифметика единиц представляет собой применение арифметических операций к смешанным системам счисления, таким как футы и дюймы; галлоны и пинты; фунты, шиллинги и пенсы; и так далее. До появления десятичных систем денег и единиц измерения сложная арифметика единиц широко использовалась в торговле и промышленности.

Основные арифметические операции [ править ]

Методы, используемые в арифметике составных единиц, разрабатывались на протяжении многих веков и хорошо документированы во многих учебниках на разных языках. [13] [14] [15] [16] В дополнение к основным арифметическим функциям, встречающимся в десятичной арифметике, арифметика составных единиц использует еще три функции:

  • Сокращение , при котором сложное количество сокращается до единственной величины - например, преобразование расстояния, выраженного в ярдах, футах и ​​дюймах, в расстояние, выраженное в дюймах. [17]
  • Расширение , функция, обратная уменьшению, представляет собой преобразование количества, выраженного как единая единица измерения, в составную единицу, например, увеличение 24 унций до 1 фунта 8 унций .
  • Нормализация - это преобразование набора составных единиц в стандартную форму, например, переписывание « 1 фут 13 дюймов » на « 2 фут 1 дюйм ».

Знание взаимосвязи между различными единицами измерения, их кратными и их частными кратными составляет важную часть арифметики составных единиц.

Принципы арифметики составных единиц [ править ]

Существует два основных подхода к арифметике составных единиц:

  • Метод редукции – расширения, при котором все переменные составных единиц сводятся к переменным единичных единиц, выполняется вычисление и результат возвращается к составным единицам. Этот подход подходит для автоматизированных расчетов. Типичным примером является обработка времени в Microsoft Excel, где все временные интервалы обрабатываются внутри как дни и десятичные дроби дня.
  • Метод непрерывной нормализации, при котором каждая единица рассматривается отдельно, а проблема непрерывно нормализуется по мере разработки решения. Этот подход, широко описанный в классических текстах, лучше всего подходит для ручных расчетов. Пример продолжающегося метода нормализации применительно к сложению показан ниже.

Операция сложения выполняется справа налево; в этом случае сначала обрабатываются пенсы, затем шиллинги, а затем фунты. Цифры под «линией ответа» являются промежуточными результатами.

Сумма в столбце пенсов равна 25. Поскольку в шиллинге 12 пенни, 25 делится на 12, чтобы получить 2 с остатком 1. Затем значение «1» записывается в строку ответа, а значение «2». перенесены в колонку шиллингов. Эта операция повторяется с использованием значений в столбце шиллингов с дополнительным шагом добавления значения, перенесенного из столбца пенни. Промежуточная сумма делится на 20, поскольку в фунте 20 шиллингов. Затем обрабатывается столбец фунтов, но поскольку фунты являются самой большой рассматриваемой единицей, никакие значения не переносятся из столбца фунтов.

Для простоты в выбранном примере не было фартингов.

Операции на практике [ править ]

Шкала, откалиброванная в британских единицах измерения, с соответствующим дисплеем стоимости.

В течение 19 и 20 веков были разработаны различные вспомогательные средства, помогающие управлять составными единицами, особенно в коммерческих приложениях. Самыми распространенными вспомогательными средствами были механические кассы, которые были адаптированы в таких странах, как Соединенное Королевство, для размещения фунтов, шиллингов, пенни и фартингов, и счетчиков , которые представляют собой книги, предназначенные для трейдеров, которые каталогизируют результаты различных рутинных расчетов, таких как проценты или кратные различных денежных сумм. В одном типичном буклете [18] , объемом в 150 страниц, были табулированы коэффициенты «от одной до десяти тысяч по разным ценам от одного фартинга до одного фунта».

Громоздкость арифметики составных единиц была признана в течение многих лет - в 1586 году фламандский математик Саймон Стевин опубликовал небольшую брошюру под названием De Thiende («десятая») [19], в которой он объявил об универсальном введении десятичной чеканки, меры , а вес - всего лишь вопрос времени. В современную эпоху многие программы преобразования, такие как включенная в калькулятор операционной системы Microsoft Windows 7, отображают составные единицы в сокращенном десятичном формате, а не в расширенном формате (например, отображается «2,5 фута», а не «2 фута 6». в " ).

Теория чисел [ править ]

До 19 века теория чисел была синонимом «арифметики». Рассматриваемые проблемы были непосредственно связаны с основными операциями и касались простоты , делимости и решения уравнений в целых числах , таких как последняя теорема Ферма . Оказалось, что большинство этих проблем, хотя и очень элементарно для постановки, очень трудны и не могут быть решены без очень глубокой математики, включающей концепции и методы из многих других разделов математики. Это привело к появлению новых разделов теории чисел, таких как аналитическая теория чисел , алгебраическая теория чисел , диофантова геометрия и арифметическая алгебраическая геометрия.. Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма является типичным примером необходимости сложных методов, которые выходят далеко за рамки классических методов арифметики, для решения задач, которые могут быть сформулированы в элементарной арифметике.

Арифметика в образовании [ править ]

Начальное образование в области математики часто уделяет большое внимание алгоритмам арифметики натуральных , целых , дробных и десятичных чисел (с использованием десятичной системы значений). Это исследование иногда называют алгоритмом.

Сложность и немотивированный вид этих алгоритмов уже давно заставляли преподавателей ставить под сомнение эту учебную программу, отстаивая раннее обучение более центральным и интуитивно понятным математическим идеям. Одним из заметных движений в этом направлении была « Новая математика» 1960-х и 1970-х годов, в которой была предпринята попытка преподавать арифметику в духе аксиоматического развития теории множеств, отголоски преобладающей тенденции в высшей математике. [20]

Кроме того, исламские ученые использовали арифметику для обучения применению постановлений, связанных с закятом и иртом . Это было сделано в книге Абд-аль-Фаттах-аль-Думьяти «Лучшее из арифметики ». [21]

Книга начинается с основ математики и переходит к ее применению в последующих главах.

См. Также [ править ]

  •  Арифметический портал
  • Списки математических тем
  • Очерк арифметики
  • Логарифмическая линейка

Связанные темы [ править ]

  • Сложение натуральных чисел
  • Противоположное число
  • Арифметическое кодирование
  • Среднее арифметическое
  • Арифметическое число
  • Арифметическая прогрессия
  • Арифметические свойства
  • Ассоциативность
  • Коммутативность
  • Распределительность
  • Элементарная арифметика
  • Конечнопольная арифметика
  • Геометрическая прогрессия
  • Целое число
  • Список важных публикаций по математике
  • Мысленный расчет
  • Числовая строка

Заметки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g «Список арифметических и общих математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-17 . Проверено 25 августа 2020 .
  2. ^ a b «Арифметика» . Британская энциклопедия . Проверено 25 августа 2020 .
  3. ^ a b «Определение арифметики» . www.mathsisfun.com . Проверено 25 августа 2020 .
  4. ^ Давенпорт, Гарольд , Высшая арифметика: введение в теорию чисел (7-е изд.), Cambridge University Press, Кембридж, 1999, ISBN 0-521-63446-6 . 
  5. ^ Рудман, Питер Стром (2007). Как возникла математика: первые 50 000 лет . Книги Прометея. п. 64 . ISBN 978-1-59102-477-4.
  6. ^ Работы Архимеда , Глава IV, Арифметика в Архимеде , под редакцией Т.Л. Хита, Dover Publications Inc, Нью-Йорк, 2002.
  7. ^ Джозеф Нидхэм, Наука и цивилизация в Китае , Vol. 3, стр. 9, Cambridge University Press, 1959.
  8. Ссылка: Revue de l'Orient Chretien Франсуа Нау, стр. 327–338. (1929)
  9. Ссылка: Sigler, L., «Liber Abaci Фибоначчи», Springer, 2003.
  10. ^ Тэпсон, Фрэнк (1996). Оксфордский учебный словарь математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-914551-2.
  11. Леонардо Пизано - стр. 3: «Вклад в теорию чисел». Архивировано 17 июня 2008 г. в Wayback Machine . Encyclopdia Britannica Online, 2006. Проверено 18 сентября 2006 г.
  12. ^ Walkingame, Фрэнсис (1860). «Спутник наставника; или Полная практическая арифметика» (PDF) . Webb, Millington & Co., стр. 24–39. Архивировано из оригинального (PDF) 04.05.2015.
  13. ^ Palaiseau, JFG (октябрь 1816). Métrologie universelle, ancienne et moderne: ou rapport des poids et mesures des empires, royaumes, duchés et Principautés des quatre party du monde [ Универсальная, древняя и современная метрология: или отчет о весах и измерениях империй, королевств, герцогств и всех княжеств части света ] (на французском). Бордо . Проверено 30 октября 2011 года .
  14. ^ Якоб де Гельдер (1824). Allereerste Gronden der Cijferkunst [ Введение в счисление ] (на голландском языке). 's-Gravenhage и Амстердам: de Gebroeders van Cleef. С. 163–176. Архивировано 5 октября 2015 года . Проверено 2 марта 2011 года .
  15. ^ Недомогания, Фердинанд (1842). Theoretisch-Praktischer Unterricht im Rechnen für die niederen Classen der Regimentsschulen der Königl. Байер. Infantrie und Cavalerie [ Теоретические и практические занятия по арифметике для низших классов Королевской баварской пехотной и кавалерийской школы ] (на немецком языке). Мюнхен. Архивировано 25 сентября 2012 года . Проверено 20 марта 2012 года .
  16. Encyclopædia Britannica , I , Эдинбург, 1772, Арифметика
  17. ^ Walkingame, Фрэнсис (1860). «Спутник наставника; или Полная практическая арифметика» (PDF) . Webb, Millington & Co., стр. 43–50. Архивировано из оригинального (PDF) 04.05.2015.
  18. Перейти ↑ Thomson, J (1824). Готовый счетчик в миниатюре, содержащий точную таблицу от одного до тысячи по разным ценам от одного фартинга до одного фунта . Монреаль. Архивировано 28 июля 2013 года . Проверено 25 марта 2012 года .
  19. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (январь 2004 г.), «Арифметика» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  20. ^ Математически правильно: Глоссарий терминов
  21. ^ аль-Думьяти, Абд-аль-Фаттах бин Абд-аль-Рахман аль-Банна (1887). «Лучшее из арифметики» . Всемирная цифровая библиотека (на арабском языке) . Проверено 30 июня 2013 года .

Ссылки [ править ]

  • Каннингтон, Сьюзен, История арифметики: краткая история ее происхождения и развития , Swan Sonnenschein, Лондон, 1904 г.
  • Диксон, Леонард Юджин , История теории чисел (3 тома), перепечатка: Вашингтонский институт Карнеги, Вашингтон, 1932; Челси, Нью-Йорк, 1952, 1966.
  • Эйлер, Леонард , Элементы алгебры , Tarquin Press, 2007
  • Прекрасно, Генри Берчард (1858–1928), Система счисления алгебры, рассматриваемая теоретически и исторически , Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
  • Карпински, Луи Чарльз (1878–1956), История арифметики , Рэнд МакНалли, Чикаго, 1925; перепечатка: Russell & Russell, Нью-Йорк, 1965.
  • Оре, Эйстейн , Теория чисел и ее история , McGraw – Hill, Нью-Йорк, 1948.
  • Вейль, Андре , Теория чисел: подход через историю , Биркхаузер, Бостон, 1984; рассмотрено: Mathematical Reviews 85c: 01004

Внешние ссылки [ править ]

  • Статья MathWorld об арифметике
  • Справочная работа для нового студента / Арифметика (историческая)
  • Великие вычисления согласно индийцам, Максима Планудеса - ранняя западная работа по арифметике в конвергенции.
  • Weyde, PH Vander (1879). «Арифметика»  . Американская циклопедия .