Модель асимптотического выигрыша

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Модель асимптотического усиления» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Модель асимптотического коэффициента усиления ^[1]^[2] (также известная как метод Розенстарка ^[3] ) представляет собой представление коэффициента усиления усилителей с отрицательной обратной связью, задаваемого соотношением асимптотического коэффициента усиления:

{\ Displaystyle G = G _ {\ infty} \ left ({\ frac {T} {T + 1}} \ right) + G_ {0} \ left ({\ frac {1} {T + 1}} \ right ) \,}

где - коэффициент возврата при отключенном входном источнике (равный отрицательному значению коэффициента усиления контура в случае одноконтурной системы, состоящей из односторонних блоков), G _∞ - асимптотическое усиление, а G ₀ - член прямой передачи. Эта форма усиления может обеспечить интуитивное понимание схемы, и ее часто легче получить, чем прямую атаку на усиление. ${\ displaystyle T}$

Рисунок 1: Блок-схема модели асимптотического усиления ^[4]

На рисунке 1 показана блок-схема, которая приводит к выражению асимптотического усиления. Соотношение асимптотического усиления также может быть выражено в виде графика потока сигналов . См. Рисунок 2. Модель асимптотического выигрыша является частным случаем теоремы о дополнительных элементах .

Рисунок 2: Возможный эквивалентный график потока сигналов для модели асимптотического усиления

Определение терминов [ править ]

Как следует непосредственно из предельных случаев выражения для коэффициента усиления, асимптотический коэффициент усиления G _∞ - это просто коэффициент усиления системы, когда коэффициент возврата приближается к бесконечности:

G_{\infty }=G\ {\Big |}_{T\rightarrow \infty }\ ,

в то время как член прямой передачи G ₀ - это коэффициент усиления системы, когда коэффициент возврата равен нулю:

G_{0}=G\ {\Big |}_{T\rightarrow 0}\ .

Преимущества [ править ]

Эта модель полезна, потому что она полностью характеризует усилители обратной связи, включая эффекты нагрузки и двусторонние свойства усилителей и цепей обратной связи.
Часто усилители обратной связи проектируются так, что коэффициент возврата T намного больше единицы. В этом случае и при условии, что член G ₀ прямой передачи является малым (как это часто бывает), коэффициент усиления G системы приблизительно равен асимптотическому коэффициенту усиления G _∞ .
Асимптотический коэффициент усиления (обычно) зависит только от пассивных элементов в цепи и часто может быть обнаружен путем осмотра.
Топологию обратной связи (последовательно-последовательно, последовательно-шунтирующую и т. Д.) Не нужно определять заранее, поскольку анализ одинаков во всех случаях.

Реализация [ править ]

Прямое применение модели включает следующие шаги:

Выберите зависимый источник в цепи.
Найдите коэффициент возврата для этого источника.
Найдите коэффициент усиления G _∞ непосредственно из схемы, заменив схему схемой, соответствующей T = ∞.
Найдите коэффициент усиления G ₀ непосредственно из схемы, заменив схему схемой, соответствующей T = 0.
Подставьте значения для T, G _∞ и G ₀ в формулу асимптотического усиления.

Эти шаги могут быть реализованы непосредственно в SPICE, используя схему ручного анализа слабого сигнала. При таком подходе легко доступны зависимые источники устройств. Напротив, для экспериментальных измерений с использованием реальных устройств или моделирования SPICE с использованием численно сгенерированных моделей устройств с недоступными зависимыми источниками для оценки коэффициента возврата требуются специальные методы .

Связь с классической теорией обратной связи [ править ]

Классическая теория обратной связи не учитывает прямую связь ( G ₀ ). Если упреждающая связь отброшена, выигрыш от модели асимптотического усиления становится

G=G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}={\frac {G_{\infty }T}{1+{\frac {1}{G_{\infty }}}G_{\infty }T}}\ ,

в то время как в классической теории обратной связи, с точки зрения коэффициента усиления A без обратной связи, коэффициент усиления с обратной связью (коэффициент усиления с обратной связью) равен:

A_{\mathrm {FB} }={\frac {A}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A}}\ .

Сравнение двух выражений показывает, что коэффициент обратной связи β _FB равен:

\beta _{\mathrm {FB} }={\frac {1}{G_{\infty }}}\ ,

в то время как усиление разомкнутого контура:

A=G_{\infty }\ T\ .

Если точность достаточна (обычно это), эти формулы предложить альтернативные оценки Т : оценка коэффициента усиления разомкнутого и G _∞ и использовать эти выражения , чтобы найти T . Часто эти две оценки проще, чем непосредственная оценка T.

Примеры [ править ]

Шаги по определению коэффициента усиления с использованием формулы асимптотического коэффициента усиления описаны ниже для двух усилителей с отрицательной обратной связью. Пример с одним транзистором показывает, как метод работает в принципе для усилителя крутизны, а второй пример с двумя транзисторами показывает подход к более сложным случаям с использованием усилителя тока.

Одноступенчатый транзисторный усилитель [ править ]

Рисунок 3: Усилитель обратной связи на полевом транзисторе

Рассмотрим простой усилитель с обратной связью на полевом транзисторе , показанный на рисунке 3. Цель состоит в том, чтобы найти низкочастотный коэффициент усиления по трансмиссионному сопротивлению этой цепи G = v _out / i _с использованием модели асимптотического усиления.

Рисунок 4: Схема слабого сигнала для усилителя сопротивления; резистор обратной связи R _f размещен под усилителем, чтобы он соответствовал стандартной топологии.

Рисунок 5: Схема слабого сигнала с разомкнутым обратным трактом и испытательным усилителем напряжения в разрыве

Слабый сигнал эквивалентная схема показана на рисунке 4, где транзистор заменен его гибридно-пи модели .

Коэффициент возврата [ править ]

Наиболее просто начать с определения коэффициента возврата T , поскольку G ₀ и G _∞ определены как предельные формы усиления, поскольку T стремится либо к нулю, либо к бесконечности. Чтобы принять эти пределы, необходимо знать, от каких параметров зависит T. В этой схеме есть только один зависимый источник, поэтому в качестве отправной точки коэффициент возврата, связанный с этим источником, определяется, как указано в статье о коэффициенте возврата .

Коэффициент возврата определяется с помощью рисунка 5. На рисунке 5 источник входного тока установлен на ноль. Вырезая зависимый источник из выходной стороны схемы и закорачивая его клеммы, выходная сторона схемы становится равной нулю. изолирован от входа, и цепь обратной связи разорвана. Тест тока я _т заменяет зависимый источник. Затем определяется обратный ток, генерируемый в зависимом источнике испытательным током. Тогда коэффициент возврата равен T = - i _r / i _t . Используя этот метод и замечая, что R _D параллельно с r _O , T определяется как:

T=g_{\mathrm {m} }\left(R_{\mathrm {D} }\ ||r_{\mathrm {O} }\right)\approx g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {D} }\ ,

где приближение является точным в общем случае , когда г _O >> R _D . Из этого соотношения ясно, что пределы T → 0 или ∞ реализуются, если мы допускаем крутизну g _m → 0 или ∞. ^[5]

Асимптотический прирост [ править ]

Нахождение асимптотического коэффициента усиления G _∞ дает понимание и обычно может быть выполнено путем проверки. Чтобы найти G _∞, положим g _m → ∞ и найдем результирующий коэффициент усиления. Ток стока, i _D = g _m v _GS , должен быть конечным. Следовательно, когда g _m приближается к бесконечности, v _GS также должна стремиться к нулю. Поскольку источник заземлен, v _GS = 0 влечет также v _G = 0. ^[6] При v _G = 0 и тот факт, что весь входной ток протекает через R_f (поскольку входной импеданс полевого транзистора бесконечен), выходное напряжение просто равно - i _в R _f . Следовательно

G_{\infty }={\frac {v_{\mathrm {out} }}{i_{\mathrm {in} }}}=-R_{\mathrm {f} }\ .

В качестве альтернативы G _∞ - это коэффициент усиления, найденный при замене транзистора идеальным усилителем с бесконечным коэффициентом усиления - нулем . ^[7]

Прямая передача [ править ]

Чтобы найти прямую передачу, мы просто позволяем g _m → 0 и вычисляем результирующее усиление. Токи через R _f и параллельную комбинацию R _D || Следовательно, r _O должно быть таким же и равным i _in . Таким образом, выходное напряжение равно i _in(R _D|| r _O) . $G_{0}$

Следовательно

G_{0}={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=R_{D}\|r_{O}\approx R_{D}\ ,

где приближение является точным в общем случае , когда г _O >> R _D .

Общий выигрыш [ править ]

Таким образом, общий коэффициент трансмиссионного сопротивления этого усилителя составляет:

G={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=-R_{f}{\frac {g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{D}}}+R_{D}{\frac {1}{1+g_{m}R_{D}}}={\frac {R_{D}\left(1-g_{m}R_{f}\right)}{1+g_{m}R_{D}}}\ .

При рассмотрении этого уравнения представляется целесообразным сделать R _D большим, чтобы общее усиление приблизилось к асимптотическому усилению, что делает усиление нечувствительным к параметрам усилителя ( g _m и R _D ). Кроме того, большой первый член снижает важность коэффициента прямого прохождения сигнала, который ухудшает характеристики усилителя. Одним из способов увеличения R _D является замена этого резистора активной нагрузкой , например токовым зеркалом .

Рисунок 6: Двухтранзисторный усилитель с обратной связью; любое сопротивление источника R _S является смешали с базовым резистором R _B .

Двухкаскадный транзисторный усилитель [ править ]

Рисунок 7: Схема использования модели асимптотического усиления; параметр α = β / (β + 1); резистор R _C = R _C1 .

На рисунке 6 показан двухтранзисторный усилитель с резистором обратной связи R _f . Этот усилитель часто называют последовательным шунтирующим усилителем с обратной связью и анализируется на основе того, что резистор R ₂ включен последовательно с выходным и дискретным выходным током, в то время как R _f находится в шунте (параллельно) с входом и вычитается из входной ток. См. Статью об усилителе с отрицательной обратной связью и рекомендации Мейера или Седры. ^[8]^[9]То есть в усилителе используется обратная связь по току. Часто бывает неоднозначно, какой тип обратной связи используется в усилителе, и подход с асимптотическим коэффициентом усиления имеет то преимущество / недостаток, что он работает независимо от того, разбираетесь ли вы в схеме.

На рисунке 6 показан выходной узел, но не указан выбор выходной переменной. Далее в качестве выходной переменной выбирается ток короткого замыкания усилителя, то есть ток коллектора выходного транзистора. Другие варианты вывода обсуждаются позже.

Для реализации модели асимптотического усиления можно использовать зависимый источник, связанный с любым транзистором. Здесь выбран первый транзистор.

Коэффициент возврата [ править ]

Схема для определения коэффициента возврата показана на верхней панели рисунка 7. Метки показывают токи в различных ветвях, найденные с помощью комбинации закона Ома и законов Кирхгофа . Резистор R ₁ = R _B // г _π1 и R ₃ = R _С2 // R _L . КВЛ от земли R ₁ до земли R ₂ обеспечивает:

i_{\mathrm {B} }=-v_{\pi }{\frac {1+R_{2}/R_{1}+R_{\mathrm {f} }/R_{1}}{(\beta +1)R_{2}}}\ .

KVL обеспечивает напряжение коллектора в верхней части R _C как

v_{\mathrm {C} }=v_{\pi }\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)-i_{\mathrm {B} }r_{\pi 2}\ .

Наконец, KCL на этом сборщике обеспечивает

i_{\mathrm {T} }=i_{\mathrm {B} }-{\frac {v_{\mathrm {C} }}{R_{\mathrm {C} }}}\ .

Подставляя первое уравнение во второе и второе в третье, коэффициент возврата находится как

T=-{\frac {i_{\mathrm {R} }}{i_{\mathrm {T} }}}=-g_{\mathrm {m} }{\frac {v_{\pi }}{i_{\mathrm {T} }}}

={\frac {g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {C} }}{\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .

Получите G ₀ с T = 0 [ править ]

Схема для определения G ₀ показана на центральной панели рисунка 7. На рисунке 7 выходной переменной является выходной ток β i _B (ток нагрузки короткого замыкания), который приводит к усилению тока короткого замыкания для усилитель, а именно β i _B / i _S :

G_{0}={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}\ .

Используя закон Ома , напряжение на вершине R ₁ находится как

(i_{S}-i_{R})R_{1}=i_{R}R_{f}+v_{E}\ \ ,

или, переставив термины,

i_{S}=i_{R}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+{\frac {v_{E}}{R_{1}}}\ .

Используя KCL в верхней части R ₂ :

i_{R}={\frac {v_{E}}{R_{2}}}+(\beta +1)i_{B}\ .

Напряжение эмиттера v _E уже известно в терминах i _B из диаграммы на рисунке 7. Подставляя второе уравнение в первое, i _B определяется только в терминах i _S , и G ₀ становится:

G_{0}={\frac {\beta }{(\beta +1)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+(r_{\pi 2}+R_{C})\left[{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\right]}}

Коэффициент усиления G ₀ представляет собой прямую связь через сеть обратной связи и обычно незначителен.

Получите G _∞ с T → ∞ [ править ]

Схема для определения G _∞ показана на нижней панели рисунка 7. Введение в эту схему идеального операционного усилителя ( нуллора ) объясняется следующим образом. Когда T → ∞, коэффициент усиления усилителя также стремится к бесконечности, и в таком случае дифференциальное напряжение, управляющее усилителем (напряжение на входном транзисторе r _π1 ), приводится к нулю и (согласно закону Ома, когда есть нет напряжения) он не потребляет входной ток. С другой стороны, выходной ток и выходное напряжение соответствуют требованиям схемы. Это поведение похоже на нульлор, поэтому можно ввести нульор для представления транзистора с бесконечным усилением.

Текущее усиление считывается непосредственно со схемы:

G_{\infty }={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}=\left({\frac {\beta }{\beta +1}}\right)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)\ .

Сравнение с классической теорией обратной связи [ править ]

При использовании классической модели прямой связью пренебрегают, и коэффициент обратной связи β _FB равен (при условии, что транзистор β >> 1):

\beta _{FB}={\frac {1}{G_{\infty }}}\approx {\frac {1}{(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}})}}={\frac {R_{2}}{(R_{f}+R_{2})}}\ ,

а коэффициент усиления A без обратной связи равен:

A=G_{\infty }T\approx {\frac {\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)g_{m}R_{C}}{\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .

Общий выигрыш [ править ]

Приведенные выше выражения можно подставить в уравнение модели асимптотического усиления, чтобы найти общий коэффициент усиления G. Полученный коэффициент усиления представляет собой коэффициент усиления по току усилителя с нагрузкой короткого замыкания.

Увеличение при использовании альтернативных выходных переменных [ править ]

В усилителе на Рисунке 6 R _L и R _C2 включены параллельно. Чтобы получить коэффициент усиления по трансмиссивному сопротивлению, скажем A _ρ , то есть коэффициент усиления с использованием напряжения в качестве выходной переменной, коэффициент усиления G по току короткого замыкания умножается на R _C2 // R _L в соответствии с законом Ома :

A_{\rho }=G\left(R_{\mathrm {C2} }//R_{\mathrm {L} }\right)\ .

Коэффициент усиления напряжения холостого хода определяется из A _ρ , устанавливая R _L → ∞.

Чтобы получить коэффициент усиления по току, когда ток нагрузки i _L в нагрузочном резисторе R _L является выходной переменной, скажем, A _i , используется формула для деления тока : i _L = i _out × R _C2 / (R _C2 + R _L ) и коэффициент усиления тока короткого замыкания G умножается на этот коэффициент нагрузки :

A_{i}=G\left({\frac {R_{C2}}{R_{C2}+R_{L}}}\right)\ .

Конечно, усиление тока короткого замыкания восстанавливается установкой R _L = 0 Ом.

Ссылки и примечания [ править ]

^ Миддлбрук, Р.Д .: Анализ усилителей с обратной связью, ориентированный на проект ; Proc. Национальной конференции по электронике, Vol. XX, октябрь 1964 г., стр. 1–4.
^ Rosenstark, Sol (1986). Принципы усилителя обратной связи . Нью-Йорк: Кольер Макмиллан. п. 15. ISBN 0-02-947810-3.
^ Паламбо, Гаэтано и Salvatore Pennisi (2002). Усилители обратной связи: теория и конструкция . Бостон / Дордрехт / Лондон: Kluwer Academic. С. §3.3 с. 69–72. ISBN 0-7923-7643-9.
Перейти ↑ Paul R. Gray, Hurst PJ Lewis SH & Meyer RG (2001). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Вили. Рисунок 8.42 с. 604. ISBN 0-471-32168-0.
^ Хотя изменение R _D // r _O также может привести к ограничению коэффициента возврата, эти значения резистора влияют и на другие аспекты схемы. Это управляющий параметр зависимого источника, который необходимо изменять, поскольку он влияет только на зависимый источник.
^ Поскольку входное напряжение v _GS приближается к нулю по мере увеличения коэффициента возврата, входной импеданс усилителя также стремится к нулю, что, в свою очередь, означает (из-за деления тока ), что усилитель работает лучше всего, если входным сигналом является ток. Если используется источник Norton, а не идеальный источник тока, формальные уравнения, полученные для T, будут такими же, как и для источника напряжения Thévenin. Обратите внимание, что в случае входного тока G _∞ представляет собойусиление по трансмиссионному сопротивлению .
^ Верховен CJ, Ван Staveren A, Monna GL, Кувенховен MH, Йылдыз E (2003). Структурированная электроника: усилители с отрицательной обратной связью . Бостон / Дордрехт / Лондон: Kluwer Academic. С. §2.3 - §2.5 с. 34–40. ISBN 1-4020-7590-1.
^ PR Серый; П.Дж. Херст; С.Х. Льюис и Р.Г. Мейер (2001). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 586–587. ISBN 0-471-32168-0.
^ AS Sedra & KC Smith (2004). Микроэлектронные схемы (Пятое изд.). Нью-Йорк: Оксфорд. Пример 8.4, стр. 825–829 и моделирование PSpice, стр. 855–859. ISBN 0-19-514251-9.

См. Также [ править ]

Теорема Блэкмана
Теорема о дополнительных элементах
Формула усиления Мейсона
Усилители обратной связи
Коэффициент возврата
График потока сигналов

Внешние ссылки [ править ]

Конспект лекций по модели асимптотического выигрыша

[1] Миддлбрук, Р.Д .: Анализ усилителей с обратной связью, ориентированный на проект ; Proc. Национальной конференции по электронике, Vol. XX, октябрь 1964 г., стр. 1–4.

[Rosenstark-2] Rosenstark, Sol (1986). Принципы усилителя обратной связи . Нью-Йорк: Кольер Макмиллан. п. 15. ISBN 0-02-947810-3.

[Palumbo-3] Паламбо, Гаэтано и Salvatore Pennisi (2002). Усилители обратной связи: теория и конструкция . Бостон / Дордрехт / Лондон: Kluwer Academic. С. §3.3 с. 69–72. ISBN 0-7923-7643-9.

[Gray-Meyer-4] Перейти ↑ Paul R. Gray, Hurst PJ Lewis SH & Meyer RG (2001). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Вили. Рисунок 8.42 с. 604. ISBN 0-471-32168-0.

[5] Хотя изменение R _D // r _O также может привести к ограничению коэффициента возврата, эти значения резистора влияют и на другие аспекты схемы. Это управляющий параметр зависимого источника, который необходимо изменять, поскольку он влияет только на зависимый источник.

[6] Поскольку входное напряжение v _GS приближается к нулю по мере увеличения коэффициента возврата, входной импеданс усилителя также стремится к нулю, что, в свою очередь, означает (из-за деления тока ), что усилитель работает лучше всего, если входным сигналом является ток. Если используется источник Norton, а не идеальный источник тока, формальные уравнения, полученные для T, будут такими же, как и для источника напряжения Thévenin. Обратите внимание, что в случае входного тока G _∞ представляет собойусиление по трансмиссионному сопротивлению .

[Verhoeven-7] Верховен CJ, Ван Staveren A, Monna GL, Кувенховен MH, Йылдыз E (2003). Структурированная электроника: усилители с отрицательной обратной связью . Бостон / Дордрехт / Лондон: Kluwer Academic. С. §2.3 - §2.5 с. 34–40. ISBN 1-4020-7590-1.

[Gray-Meyer1-8] PR Серый; П.Дж. Херст; С.Х. Льюис и Р.Г. Мейер (2001). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 586–587. ISBN 0-471-32168-0.

[Sedra1-9] AS Sedra & KC Smith (2004). Микроэлектронные схемы (Пятое изд.). Нью-Йорк: Оксфорд. Пример 8.4, стр. 825–829 и моделирование PSpice, стр. 855–859. ISBN 0-19-514251-9.

[1]

Модель асимптотического выигрыша

Определение терминов [ править ]

Преимущества [ править ]

Реализация [ править ]

Связь с классической теорией обратной связи [ править ]

Примеры [ править ]

Одноступенчатый транзисторный усилитель [ править ]

Коэффициент возврата [ править ]

Асимптотический прирост [ править ]

Прямая передача [ править ]

Общий выигрыш [ править ]

Двухкаскадный транзисторный усилитель [ править ]

Коэффициент возврата [ править ]

Получите G 0 с T = 0 [ править ]

Получите G ∞ с T → ∞ [ править ]

Сравнение с классической теорией обратной связи [ править ]

Общий выигрыш [ править ]

Увеличение при использовании альтернативных выходных переменных [ править ]

Ссылки и примечания [ править ]

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Получите G ₀ с T = 0 [ править ]

Получите G _∞ с T → ∞ [ править ]