Асимптотически плоское пространство-время

Эта статья требует внимания эксперта в области науки . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Science может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2008 г. )

Асимптотический плоское пространство - время является лоренцевым многообразием , в котором, грубо говоря, кривизна равна нуль на больших расстояниях от некоторой области, так что на больших расстояниях, геометрия становится неотличимой от такового пространства - времени Минковского .

Хотя это понятие имеет смысл для любого лоренцевого многообразия, оно чаще всего применяется к пространству-времени как решение полевых уравнений некоторой метрической теории гравитации , особенно общей теории относительности . В этом случае мы можем сказать, что асимптотически плоское пространство-время - это такое, в котором гравитационное поле , а также любая материя или другие поля, которые могут присутствовать, становятся незначительными по величине на больших расстояниях от некоторой области. В частности, в асимптотически плоском вакуумном решении гравитационное поле (кривизна) становится незначительным на больших расстояниях от источника поля (обычно от какого-то изолированного массивного объекта, такого как звезда). ^[1]

Интуитивное значение [ править ]

Условие асимптотической плоскостности аналогично аналогичным условиям в математике и других физических теориях. Такие условия говорят, что некое физическое поле или математическая функция в подходящем смысле асимптотически исчезает . ^{[ необходима цитата ]}

В общей теории относительности асимптотически плоское вакуумное решение моделирует внешнее гравитационное поле изолированного массивного объекта. Следовательно, такое пространство-время можно рассматривать как изолированную систему : систему, в которой внешними влияниями можно пренебречь . Действительно, физики редко представляют себе вселенную, содержащую одну звезду и ничего больше, когда строят асимптотически плоскую модель звезды. ^{[ необходима цитата ]} Скорее, они заинтересованы в моделировании внутренней части звезды вместе с внешней областью, в которой гравитационными эффектами из-за присутствия других объектов можно пренебречь. Поскольку типичные расстояния между астрофизическими телами обычно намного больше диаметра каждого тела, мы часто можем избежать этой идеализации, которая обычно помогает значительно упростить построение и анализ решений.

Формальные определения [ править ]

Многообразие является асимптотически простым, если оно допускает такую конформную компактификацию , что каждая нулевая геодезическая в имеет конечные точки в будущем и в прошлом на границе .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$

Поскольку последнее исключает черные дыры, слабо асимптотически простое многообразие определяется как многообразие с открытым множеством, изометричное окрестности границы , где - конформная компактификация некоторого асимптотически простого многообразия.${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle U \ подмножество M}$${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$

Многообразие является асимптотически плоским, если оно слабо асимптотически просто и асимптотически пусто в том смысле, что его тензор Риччи обращается в нуль в окрестности границы .${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$

^[2]

Некоторые примеры и непримеры [ править ]

Только пространства-времени, моделирующие изолированный объект, являются асимптотически плоскими. Многие другие известные точные решения, такие как модели пыли FRW (которые представляют собой однородное пространство-время и, следовательно, в некотором смысле находятся на противоположном конце спектра от асимптотически плоского пространства-времени), таковыми не являются.

Простым примером асимптотически плоского пространства-времени является вакуумное решение Шварцшильда . В более общем смысле вакуум Керра также асимптотически плоский. Но другое хорошо известное обобщение вакуума Шварцшильда, вакуум NUT , не является асимптотически плоским. Еще более простое обобщение, решение лямбдавакуума Шварцшильда-де Ситтера (иногда называемое решением Кеттлера), которое моделирует сферически-симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера , является примером асимптотически простого пространства-времени, которое не является асимптотически плоским.

С другой стороны, существуют важные большие семейства решений, которые являются асимптотически плоскими, такие как вакуумы AF Weyl и их вращающиеся обобщения, вакуумы AF Ernst (семейство всех стационарных осесимметричных и асимптотически плоских вакуумных решений). Эти семейства задаются пространством решений значительно упрощенного семейства дифференциальных уравнений в частных производных, и их метрические тензоры могут быть записаны (скажем, в вытянутой сфероидальной карте ) в терминах явного мультипольного разложения .

Определение, зависящее от координат [ править ]

Самый простой (и исторически первый) способ определения асимптотически плоского пространства-времени предполагает, что у нас есть координатная карта с координатами , которая вдали от начала координат ведет себя так же, как декартова карта в пространстве-времени Минковского, в следующем смысле. Запишите метрический тензор как сумму (физически ненаблюдаемого) фона Минковского плюс тензор возмущений,, и множество . Тогда нам потребуется:${\ displaystyle t, x, y, z}$${\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab} + h_ {ab}}$${\ displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

• ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} h_ {ab} = O (1 / r)}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} h_ {ab, p} = O (1 / r ^ {2})}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} h_ {ab, pq} = O (1 / r ^ {3})}$

Одна из причин, по которой мы требуем, чтобы частные производные возмущения затухали так быстро, заключается в том, что эти условия, как оказывается, подразумевают, что плотность энергии гравитационного поля (в той степени, в которой это несколько туманное понятие имеет смысл в метрической теории гравитации) затухает как , что было бы физически разумным. (В классическом электромагнетизме энергия электромагнитного поля точечного заряда спадает как .)${\ Displaystyle О (1 / г ^ {4})}$${\ Displaystyle О (1 / г ^ {4})}$

Бескординатное определение [ править ]

Примерно в 1962 году Герман Бонди , Райнер К. Сакс и другие начали изучать общее явление излучения компактного источника в общей теории относительности, что требует более гибких определений асимптотической плоскостности. В 1963 году Роджер Пенроуз импортировал из алгебраической геометрии существенное нововведение, теперь называемое конформной компактификацией , а в 1972 году Роберт Герох использовал это, чтобы обойти сложную проблему определения и оценки подходящих пределов при формулировании действительно бескоординатного определения асимптотической плоскостности. В новом подходе, когда все правильно настроено, нужно только оценивать функции на локусе, чтобы проверить асимптотическую плоскостность.

Приложения [ править ]

Понятие асимптотической плоскостности чрезвычайно полезно как техническое условие при изучении точных решений в общей теории относительности и смежных теориях. На это есть несколько причин:

• Модели физических явлений в общей теории относительности (и родственных ей физических теориях) обычно возникают как решение соответствующих систем дифференциальных уравнений , а допущение асимптотической плоскостности обеспечивает граничные условия, которые помогают в постановке и даже решении получающейся краевой задачи .
• В метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности, обычно невозможно дать общие определения важных физических понятий, таких как масса и угловой момент; однако предположение об асимптотической плоскости позволяет использовать удобные определения, которые имеют смысл для асимптотически плоских решений.
• Хотя это менее очевидно, оказывается, что использование асимптотической плоскости позволяет физикам импортировать сложные математические концепции из алгебраической геометрии и дифференциальной топологии , чтобы определять и изучать важные особенности, такие как горизонты событий, которые могут присутствовать, а могут и не присутствовать.

Критика [ править ]

Понятие асимптотической плоскости в физике гравитации подвергалось критике как по теоретическим, так и по техническим причинам.

Нет никаких трудностей в получении моделей статических сферически-симметричных звездных моделей, в которых идеальная внутренняя жидкость сопоставляется по сферической поверхности, поверхности звезды, с внешней частью вакуума, которая фактически является областью вакуума Шварцшильда. Фактически, можно записать все эти статические звездные модели таким образом, чтобы было ясно, что они существуют во множестве. Учитывая этот успех, это может стать неприятным шоком, поскольку кажется, что с математической точки зрения очень сложно построить вращающийсязвездные модели, в которых идеальный жидкий интерьер сочетается с асимптотически плоским вакуумным экстерьером. Это наблюдение является основой наиболее выдающегося технического возражения против понятия асимптотической плоскости в общей теории относительности.

Прежде чем объяснять это возражение более подробно, представляется целесообразным кратко обсудить часто упускаемый из виду момент физических теорий в целом. Асимптотическая плоскостность - это идеализация, и она очень полезна как в нашей нынешней «золотой стандарт» теории гравитации - общей теории относительности.- а в более простой теории «опрокинул» ньютоновское тяготение. Можно ожидать, что как последовательность (пока в основном гипотетическая) последовательность все более сложных теорий гравитации, обеспечивающих все более и более точные модели фундаментальной физики, эти теории станут монотонно более «мощными». Но эта надежда, вероятно, наивна: мы должны ожидать монотонно увеличивающегося диапазона выбора при достижении различных теоретических компромиссов, а не монотонного «улучшения». В частности, как наши физические теории становятся все более и более точными , то следует ожидать , что он станет труднее и труднее трудоустроить идеализации с той же легкостью , с которой мы можем ссылаться на них в более снисходительном (то есть, менее ограничительном) теории. Это связано с тем, что более точные теории обязательно требуют установления более точных граничных условий, что может затруднить понимание того, как установить некоторую идеализацию, знакомую по более простой теории, в более сложную теорию. В самом деле, мы должны ожидать, что некоторые идеализации, допущенные предыдущими теориями, могут вообще не быть допущены последующими теориями.

Это явление может быть как благословением, так и проклятием. Например, мы только что отметили, что некоторые физики считают, что более сложные теории гравитации не допускают никакого понятия изолированной точечной частицы. Действительно, некоторые утверждают, что общая теория относительности этого не делает, несмотря на существование вакуумного решения Шварцшильда . Если эти физики правы, мы получили бы своего рода самоотверженную интеллектуальную честность или реализм, но мы бы заплатили огромную цену, поскольку немногие идеализации оказались столь же плодотворными в физике, как идея точечной частицы (сколь бы неприятной она ни была). даже в более простых теориях).

Как бы то ни было, в настоящее время известно очень мало примеров точных решений, моделирующих изолированные и вращающиеся объекты в общей теории относительности. Фактически, список полезных решений в настоящее время состоит из пыли Нойгебауэра-Майнеля (которая моделирует жестко вращающийся тонкий диск пыли (конечного радиуса), окруженный асимптотически плоской областью вакуума) и несколько вариантов. В частности, не существует известного источника идеальной жидкости, который можно было бы сопоставить с внешним вакуумом Керра , как можно было бы ожидать, чтобы создать простейшую возможную модель вращающейся звезды. Это удивительно из-за обилия плавных внутренних поверхностей, которые соответствуют вакуумным экстерьерам Schwarzschild.

Действительно, если некоторые утверждают , что внутреннее решение , которое соответствует в вакууме Керра, который имеет Петров типа D , также должны быть типа Д . На самом деле существует известное идеальное жидкое решение, жидкость Уолквиста , которая относится к типу D по Петрову и имеет определенную поверхность, по которой можно попытаться сопоставить с внешним вакуумом. Однако оказывается, что жидкость Уолквиста не может быть сопоставлена ни с однимасимптотически плоская область вакуума. В частности, вопреки наивным ожиданиям, он не может соответствовать внешнему виду вакуума Керра. Незначительное меньшинство физиков (на самом деле меньшинство из одного), похоже, считают, что общая теория относительности неприемлема, потому что она не допускает достаточно общих асимптотически плоских решений (очевидно, этот аргумент неявно предполагает, что мы решительно отвергли по крайней мере некоторые махистские принципы!). но последовательность все более сложных и общих результатов существования, кажется, противоречит этому предположению.

Общепринятую точку зрения физиков на эти вопросы, вероятно, можно резюмировать следующим образом:

• в то время как многие выдающиеся исследователи пытались ссылаться на махистские принципы (включая Альберта Эйнштейна и Джона Арчибальда Уиллера ), статус этих принципов, в отличие от широко принятых принципов, таких как принцип сохранения количества движения, в настоящее время весьма неоднозначен,
• Общая теория относительности допускает достаточное разнообразие решений для моделирования (в принципе) любой реалистичной астрофизической ситуации, плюс (по-видимому) множество весьма нереалистичных.

См. Также [ править ]

• Жидкий раствор
• Уравнения поля Эйнштейна

Ссылки [ править ]

• Хокинг, С.В. и Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09906-6.. См. Раздел 6.9 для обсуждения асимптотически простых пространств-времени.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5. См. Главу 11 .
• Frauendiener, Jörg. «Конформная бесконечность» . Живые обзоры в теории относительности . Архивировано из оригинала на 31 декабря 2005 года . Проверено 23 января 2004 года .
• Марс, М. и Сеновилла, JMM (1998). «О построении глобальных моделей, описывающих вращающиеся тела; уникальность внешнего гравитационного поля». Современная физика Буква A . 13 (19): 1509–1519. arXiv : gr-qc / 9806094 . Bibcode : 1998MPLA ... 13.1509M . DOI : 10.1142 / S0217732398001583 . eprint Авторы утверждают, что краевые задачи в общей теории относительности, такие как задача согласования данной идеальной внутренней жидкости с асимптотически плоской внешней частью вакуума, являются переопределенными . Это не означает, что моделей вращающейся звезды не существует, но помогает объяснить, почему их сложно построить.
• Марк Д. Робертс, Пространство-время , внешнее по отношению к звезде: против асимптотической плоскостности . Версия от 16 мая 2002 г. Робертс пытается доказать, что внешним решением в модели вращающейся звезды должна быть идеальная жидкость или пыль, а не вакуум, а затем утверждает, что в общей теории относительности не существует асимптотически плоских вращающихся решений с идеальной жидкостью. . ( Примечание: Марк Робертс время от времени пишет в Википедии, включая эту статью.
• Марс, Марк (1998). «Решение Уолквиста-Ньюмана». Phys. Rev. D . 63 (6): 064022. arXiv : gr-qc / 0101021 . Bibcode : 2001PhRvD..63f4022M . CiteSeerX  10.1.1.339.8609 . DOI : 10.1103 / PhysRevD.63.064022 . eprint Mars представляет вращающееся пространство-время Петрова типа D, которое включает в себя хорошо известную жидкость Уолквиста и электровакуумные решения Керра-Ньюмана в качестве частного случая.
• МакКаллум, Массачусетс; Марс, М .; и Вера, Р. Возмущения второго порядка вращающихся тел в состоянии равновесия: проблема внешнего вакуума. Это краткий обзор трех ведущих специалистов по современному состоянию дел по построению точных решений, моделирующих изолированные вращающиеся тела (с асимптотически плоский вакуум снаружи).

Внешние ссылки [ править ]

• Полевые уравнения Эйнштейна и их физические последствия

Заметки [ править ]