Автомедианный треугольник

Автомедианный треугольник (черный) с длинами сторон в пропорции 13: 17: 7, его три медианы (коричневый) и треугольник, похожий на исходный, стороны которого являются переведенными копиями медиан.

В плоской геометрии , automedian треугольник является треугольником , в котором длины три медиан (отрезки , соединяющие каждую вершину к середине стороны , противоположной) , пропорциональных длинам трех сторон, в другом порядке. Три медианы автомедианного треугольника можно преобразовать в стороны второго треугольника, аналогичного первому.

Характеристика [ править ]

Длины сторон автомедианного треугольника удовлетворяют формуле 2 a ² = b ² + c ² или ее перестановке, аналогично теореме Пифагора, характеризующей прямоугольные треугольники как треугольники, удовлетворяющие формуле a ² = b ² + c ² . То есть для того, чтобы три числа a , b и c были сторонами автомедианного треугольника, последовательность из трех возведенных в квадрат длин сторон b ² , a ² и c ²должны образовывать арифметическую прогрессию . ^[1]

Построение из прямоугольных треугольников [ править ]

Если x , y и z - три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2 x < z , то z , x + y и y - x - три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 может быть использован для образования автомедианного треугольника с длинами сторон 13, 17 и 7. ^[2]

Условие, что 2 x < z является необходимым: если бы оно не было выполнено, то три числа a = z , b = x + y и c = x - y по- прежнему удовлетворяли бы уравнению 2 a ² = b ² + c ² характеризующие автомедианные треугольники, но они не удовлетворяют неравенству треугольника и не могут быть использованы для формирования сторон треугольника.

Следовательно, используя формулу Эйлера, которая генерирует примитивные треугольники Пифагора , можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники (т. Е. Со сторонами, не имеющими общего множителя) как

{\ Displaystyle а = м ^ {2} + п ^ {2}}

{\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}

{\ displaystyle c = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}

с и взаимно простыми, нечетными и удовлетворять неравенству треугольника (если величина внутри знаков абсолютного значения отрицательна) или (если эта величина положительна). Затем находятся медианы этого треугольника, используя приведенные выше выражения для его сторон в общей формуле для медиан : ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m + n}$ ${\ Displaystyle п <м <п {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}$ ${\ displaystyle t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}}$

t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},

где второе уравнение в каждом случае отражает автомедианную функцию $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Отсюда видно сходство отношений

{\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.

Существует примитивный автомедианный треугольник с целыми сторонами, который не создается из прямоугольного треугольника: а именно, равносторонний треугольник со сторонами единичной длины.

Примеры [ править ]

Есть 18 примитивных целочисленных автомедианных треугольников, показанных здесь как тройки сторон ( a, b, c ), с b ≤ 200 :

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

Например, (26, 34, 14) не является примитивной автомедианной тройкой, поскольку она кратна (13, 17, 7) и не отображается выше.

Дополнительные свойства [ править ]

Если - площадь автомедианного треугольника по формуле Герона ^[3] $\Delta (a,b,c)$ $\Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).$

Линия Эйлера автомедианного треугольника перпендикулярна медиане стороны a . ^[2]

Если медианы автомедианного треугольника продолжаются до описанной окружности треугольника, то три точки LMN, где расширенные медианы пересекаются с описанной окружностью, образуют равнобедренный треугольник . Треугольники, для которых этот второй треугольник LMN является равнобедренным, в точности являются треугольниками, которые сами являются либо равнобедренными, либо автомедианными. Это свойство автомедианных треугольников противоречит теореме Штейнера – Лемуса , согласно которой единственные треугольники, два из которых биссектрисы углов имеют одинаковую длину, являются равнобедренными треугольниками. ^[2]

Кроме того, предположим, что ABC - автомедианный треугольник, в котором вершина A стоит напротив стороны a . Пусть G - точка, в которой пересекаются три медианы ABC , и пусть AL - одна из расширенных медиан ABC , при этом L лежит на описанной окружности ABC . Тогда BGCL - это параллелограмм , два треугольника BGL и CLG, на которые он может быть подразделен, похожи на ABC , G - это середина AL , а линия Эйлератреугольника - серединный перпендикуляр к AL . ^[2]

При генерации примитивного автомедианного треугольника из примитивной пифагоровой тройки с использованием евклидовых параметров m, n , то и из этого следует . Поскольку непримитивные автомедианные треугольники кратны своим примитивам, неравенства сторон применяются ко всем целочисленным автомедианным треугольникам. Равенство имеет место только для тривиальных равносторонних треугольников. Кроме того, поскольку всегда нечетно, все стороны a, b, c должны быть нечетными. Этот факт позволяет автомедианным троек иметь стороны и периметр только простых чисел. Например, (13, 17, 7) имеет периметр 37. $m>n$ $b\geq a\geq c$ $m+n$

Поскольку в примитивном автомедианном треугольнике сторона a является суммой двух квадратов и равна гипотенузе порождающей примитивной пифагоровой тройки, она делится только на простые числа, конгруэнтные 1 (mod 4). Следовательно, a должно быть конгруэнтно 1 (mod 4).

Точно так же, поскольку стороны связаны между собой , каждая из сторон b и c в примитивном автомедиане является разностью между двойным квадратом и квадратом. Они также являются суммой и разностью ног примитивной пифагорейской тройки. Это ограничивает b и c, чтобы они делились только на простые числа, конгруэнтные ± 1 (mod 8). Следовательно, b и c должны совпадать с ± 1 (mod 8). ^[4] $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$

История [ править ]

Изучение целочисленных квадратов в арифметической прогрессии имеет долгую историю, восходящую к Диофанту и Фибоначчи ; он тесно связан с конгруа , т.е. числами, которые могут быть разностями квадратов в такой прогрессии. ^[1] Однако связь между этой проблемой и автомедианными треугольниками возникла гораздо позже. Проблема описания автомедианных треугольников была поставлена в конце 19 века в « Educational Times» (на французском языке) Джозефом Жаном Батистом Нойбергом и решена там формулой 2 a ² = b ² + c ^{2 следующим} образом:Уильям Джон Гринстрит . ^[5]

Особые случаи [ править ]

За исключением тривиальных случаев равносторонних треугольников, треугольник с длинами сторон 17, 13 и 7 является наименьшим (по площади или периметру) автомедианным треугольником с целыми длинами сторон. ^[2]

Есть только один автомедианный прямоугольный треугольник, длина сторон которого пропорциональна 1, √ 2 и √ 3 . ^[2] Этот треугольник - второй треугольник в спирали Теодора . Это единственный прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны друг другу. ^[2]

См. Также [ править ]

средний треугольник
Целочисленный треугольник
Треугольник Кеплера , прямоугольный треугольник, в котором квадраты длин ребер образуют геометрическую прогрессию вместо арифметической прогрессии.

Ссылки [ править ]

^ a b Диксон, Леонард Юджин (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии x 2 + z 2 = 2 y 2 » , История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN 978-0-8218-1935-7 CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ a b c d e f g Парри, К. Ф. (1991), «Штайнер – Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .
^ Benyi, Арпад, «Цапля типа формула для треугольника», Математический вестник 87, июль 2003, 324-326.
^ "OEIS A001132" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
^ "Проблема 12705", Математические вопросы и решения из "Educational Times", Том I , Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78. Первоначально опубликовано в « Educational Times 71» (1899 г.), стр. 56

Внешние ссылки [ править ]

Автомедианные треугольники и магические квадраты mathpages К.С. Брауна

[dickson-1] Диксон, Леонард Юджин (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии x 2 + z 2 = 2 y 2 » , История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN 978-0-8218-1935-7 CS1 maint: discouraged parameter (link).

[parry-2] Парри, К. Ф. (1991), «Штайнер – Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .

[3] Benyi, Арпад, «Цапля типа формула для треугольника», Математический вестник 87, июль 2003, 324-326.

[4] "OEIS A001132" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

[5] "Проблема 12705", Математические вопросы и решения из "Educational Times", Том I , Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78. Первоначально опубликовано в « Educational Times 71» (1899 г.), стр. 56

[1]