В математике , то ось угла представление о вращении параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве с помощью двух величин: а единичный вектор е , указывающий направление оси вращения, и угол & thetas описывающий величину поворота вокруг ось. Только два числа, а не три, необходимы для определения направления единичного вектора e, уходящего корнем в начало координат, потому что величина e ограничена. Например, углов места и азимута e достаточно, чтобы разместить его в любой конкретной декартовой системе координат.
По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правилом правой руки . Ось вращения иногда называют осью Эйлера .
Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях . Представление ось-угол основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.
Вектор вращения
Представление ось-угол эквивалентно более сжатому вектору вращения , также называемому вектором Эйлера . В этом случае и ось вращения, и угол представлены вектором, сонаправленным с осью вращения, длина которой равна углу поворота θ ,
Он используется для экспоненциальных и логарифмических отображений, включающих это представление.
Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длиной θ + 2π M для любого целого числа M кодирует точно такое же вращение, что и вектор вращения длины θ . Таким образом, любому вращению соответствует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения. Кроме того, все повороты на 2π M равны отсутствию вращения, поэтому для данного целого числа M все векторы вращения длиной 2π M во всех направлениях составляют двухпараметрическую несчетную бесконечность векторов вращения, кодирующих одно и то же вращение. как нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при инвертировании экспоненциальной карты, то есть при нахождении вектора вращения, который соответствует заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение на , но не один-к-одному .
Пример
Предположим, вы стоите на земле и выбираете направление силы тяжести в качестве отрицательного направления по оси Z. Затем, если вы повернетесь налево, вы повернетесьπ/2радианы (или 90 ° ) вокруг оси z . Если рассматривать представление ось-угол как упорядоченную пару , это будет
Приведенный выше пример может быть представлен как вектор вращения с величиной π/2указывая в направлении z ,
Использует
Представление ось – угол удобно при работе с динамикой твердого тела . Это полезно для обеих характеризующими вращений , а также для преобразования между различными представлениями твердого тела движения , таких как однородных преобразований [ необходимы разъяснения ] и завихрения.
Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси , его ось-угол данные являются постоянной осью вращения, а угол поворота непрерывно зависит от времени .
Включение трех собственных значений 1 и e ± iθ и связанных с ними трех ортогональных осей в декартово представление в теорему Мерсера - удобная конструкция декартова представления матрицы вращения в трех измерениях.
Вращение вектора
Формула вращения Родригеса , названная в честь Олинды Родригес , представляет собой эффективный алгоритм вращения евклидова вектора с учетом оси вращения и угла поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциальной карты из(3) в SO (3) без вычисления полной матричной экспоненты.
Если v - вектор в ℝ 3, а e - единичный вектор с корнем в начале координат, описывающий ось вращения, вокруг которой v поворачивается на угол θ , формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора имеет вид
Для поворота одного вектора это может быть более эффективным, чем преобразование e и θ в матрицу вращения, чтобы повернуть вектор.
Отношение к другим представлениям
Есть несколько способов изобразить вращение. Полезно понять, как разные представления соотносятся друг с другом и как конвертировать между ними. Здесь единичный вектор обозначается ω вместо e .
Экспоненциальная карта из (3) в SO (3)
В экспоненциальное отображение эффектов преобразование от оси угла представления вращений до матриц вращения ,
По сути, используя разложение Тейлора, можно получить отношение замкнутой формы между этими двумя представлениями. Для единичного вектора ω ∈(3) = ℝ 3 , представляющая ось вращения блока и угол, & thetas ; ∈ ℝ , эквивалентная матрица вращения R задаются следующим образом , где K является кросс матричного произведения из ш , то есть Kv = ω × v для всех векторы v ∈ ℝ 3 ,
Поскольку K кососимметричен, а сумма квадратов его наддиагональных элементов равна 1, характеристический многочлен P ( t ) для K равен P ( t ) = det ( K - t I ) = - ( t 3 + т ) . Так как , по теореме Гамильтона-Кэли , Р ( К ) = 0, то это означает , что
В результате, K 4 = - K 2 , K 5 = K , K 6 = K 2 , K 7 = - K .
Этот циклический паттерн продолжается бесконечно, поэтому все высшие степени K могут быть выражены через K и K 2 . Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что
это,
по формуле ряда Тейлора для тригонометрических функций .
Это алгебраический вывод Ли, в отличие от геометрического, приведенного в формуле вращения Родригеса в статье . [1]
Из - за существование вышеупомянутого экспоненциального отображения, единичный вектор & omega , представляющей ось вращения, и угла θ иногда называют экспоненциальные координаты матрицы вращения R .
Карта журнала от SO (3) до (3)
Пусть K по- прежнему обозначает матрицу 3 × 3, которая влияет на перекрестное произведение с осью вращения ω : K ( v ) = ω × v для всех векторов v в дальнейшем.
Чтобы получить представление оси-угла для матрицы вращения , вычислите угол поворота по следу матрицы вращения.
а затем используйте это, чтобы найти нормализованную ось,
где - компонент матрицы вращения, , в -й ряд и -й столбец.
Обратите внимание, что представление осевого угла не является уникальным, поскольку поворот о это то же самое, что вращение о .
Матрица логарифм матрицы вращения R является
Исключение возникает , когда R имеет собственные значения , равные -1 . В этом случае журнал не уникален. Однако, даже в том случае , когда θ = π Фробениуса норма из бревна
Учитывая матрицы вращения A и B ,
- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.
Для небольших вращений приведенное выше вычисление θ может быть численно неточным, поскольку производная arccos стремится к бесконечности при θ → 0 . В этом случае, условия внеосевые фактически обеспечивают более полную информацию о & thetas , так как, при малых углах, R ≈ I + & thetas K . (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для exp ( θ K ) .)
Эта формулировка также имеет численные проблемы при θ = π , где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до двусмысленности знака). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.
При θ = π имеем
и так пусть
так что диагональные члены B являются квадратами элементов со и знаков ( с точностью до знака неоднозначности) может быть определена из признаков условий вне оси B .
Кватернионы единиц
следующее выражение преобразует координаты оси и угла в версоры (единичные кватернионы ):
Учитывая версор q = s + x, представленный его скаляром s и вектором x , координаты ось – угол могут быть извлечены с помощью следующего:
Более численно устойчивое выражение угла поворота использует функцию atan2 :
где | х | - евклидова норма 3-вектора x .
Смотрите также
- Однородные координаты
- Теория винта , представление движений и скоростей твердого тела с использованием концепций скручиваний, винтов и гаечных ключей.
- Псевдовектор
- Повороты без матрицы
Рекомендации
- ^ Это справедливо для триплетного представления группы вращения, т. Е. Спина 1. Относительно более многомерных представлений / спинов см. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». СИГМА . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . DOI : 10.3842 / SIGMA.2014.084 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )